A. Tổng hợp kiến thức

I. Phương trình mặt phẳng

Cho mp($\alpha$), nếu $\overrightarrow{n}\neq 0$ và có giá vuông góc với mp($\alpha$) thì $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $\alpha$.

• Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
•  $\overrightarrow{n}$ được xác định bởi tích vô hướng của  $\overrightarrow{a}$ và  $\overrightarrow{b}$
• Ký hiệu: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$ hay $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}]$

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

• Nếu $A,B,C,D\neq 0$ => ta có phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn: 

II. Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

• $(\alpha _{1})//(\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}\neq kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})\equiv (\alpha _{2})<=>\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{n_{1}}=k\overrightarrow{n_{2}} & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}(A_{1};B_{1};C_{1})=k(A_{2};B_{2};C_{2}) & \\ D_{1}= kD_{2} & \end{matrix}\right.$
• $(\alpha _{1})$ cắt $(\alpha _{2})$ <=> $\overrightarrow{n_{1}}\neq k\overrightarrow{n_{2}}<=>(A_{1};B_{1};C_{1})\neq k(A_{2};B_{2};C_{2}) $

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

• $(\alpha _{1})\perp (\alpha _{2})<=>\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0<=>A_{1}.A_{2}+B_{1}.B_{2}+C_{1}.C_{2}=0$

III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, cho mp($(\alpha )$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$. Khoảng cách từ M đến mp($(\alpha )$ xác định bởi công thức: