CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

BÀI 26. BIẾN CỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

1. BIẾN CỐ

Nhắc lại khái niệm:

- Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử thực hiện.

- Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là $\Omega $.

- Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Ví dụ 1 (SGK -tr 78).

HĐ1:

a. Kết quả thuận lợi cho biến cố A: {Hương; Hồng; Dung}.

b. Kết quả thuận lợi cho biến cố B: {Hương; Hồng; Hoàng}.
Kết luận:

Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu . Tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Nhận xét:

Biến cố chắc chắn là tập , biến cố không thể là tập ∅.

Ví dụ 2 (SGK -tr 78)

Luyện tập 1: 

Không gian mẫu là tập hợp các phần thưởng trong chương trình khuyến mãi của siêu thị,  $\Omega $ = {ti vi; bàn ghế; tủ lạnh; máy tính; bếp từ; bộ bát đĩa}

b. D là tập hợp gồm các phần tử:

 D = {ti vi; tủ lạnh; máy tính; bếp từ}.

HĐ2: 

Biến cố C xảy ra khi bạn được gọi là nam, tức là biến cố A không xảy ra.

Kết luận:

Biến cố đối của biến cố E là biến cố: "E không xảy ra". Biến cố đối của E được kí hiệu là $\bar{E}$.

Nhận xét: 

Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu $\Omega $ thì biến cố đối $\bar{E}$ là tập tất cả các phần tử của 

mà không là phần tử của E. Vậy biến cố $\bar{E}$ là phần bù của E trong $\Omega $: $\bar{E}$=C$_{\Omega }$E.

Ví dụ 3 (SGK -tr79)

Luyện tập 2: 

a. Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" không là biến cố $\bar{K}$, vì nếu K không xảy ra, tức là số chấm không là số nguyên tố, thì số chấm của xúc xắc có thể là số 1 hoặc hợp số. (số 1 không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số).

b. Ta có:

Biến cố $\bar{K}$: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1 hoặc là một hợp số".

K = {2; 3; 5}

$\bar{K}$ = {1; 4; 6}.

2. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Nhắc lại kiến thức lớp 9:

- Các kết quả có thể của phép thử T gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau.

- Giả sử các kết quả có thể của phép thử T là đồng khả năng. Khi đó xác suất của biến cố E bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi E và số kết quả có thể.

HĐ3:

a. Không gian mẫu $\Omega $ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

Các kết quả có thể đồng khả năng.

b. E = {2; 3; 5; 7; 11}

c. Phép thử có 12 kết quả có thể.

Biến cố E có 5 kết quả thuận lợi.

Xác suất của biến cố E là: P(E)=$\frac{5}{12}$

Kết luận:

Cho phép thử T có không gian mẫu $\Omega $ là . Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức: P(E)=$\frac{n(E)}{n(\Omega )}$

Trong đó n($\Omega $) và n(E) tương ứng là số phần tử của tập và tập E.

Nhận xét:

+ Với mỗi biến cố E: ta có 0≤P(E)≤1.

+ Với biến cố chắc chắn (là tập $\Omega $), ta có P($\Omega $)=1.

+ Với biến cố không thể (là tập ∅), ta có  P(∅)=0.

Câu hỏi:

+ Vì E $\subset  \Omega $nên n(E)≤n(). Lại có n(E)≥0.

Do đó 0≤P(E)=$\frac{n(E)}{n(\Omega )}$≤1.

+ Vì biến cố chắc chắn là tập , nên

P(Ω)=$\frac{n(\Omega )}{n(\Omega )}$=1.

+ Vì biến cố không thể là tập ∅ và n(∅)=0 nên P(∅)=$\frac{n(∅)}{n(\Omega )}$=0.

Ví dụ 4 (SGK -tr80)

Ví dụ 5 (SGK – tr81)

Chú ý:

Trong những phép thử đơn giản, ta đếm số phần tử của tập và số phần tử của biến cố E bằng cách liệt kê ra tất cả các phần tử của hai tập hợp này.

Luyện tập 3:

+ Vì mỗi con xúc xắc có thể xuất hiện 1 trong 6 mặt, nên số khả năng có thể xảy ra khi gieo 2 xúc xăc là: n(Ω) = 6$^{2}$=36.

+ Biến cố E: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6”

Tổng số chấm bằng 4 gồm các kết quả: (1; 3), (3; 1), (2; 2).

Tổng số chấm bằng 6 gồm các kết quả: (1; 5), (5; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 3)

⇒ n(E) = 8.

Vậy P(E) = $\frac{8}{36}$=$\frac{2}{9}$.

3. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Chú ý: 

Trong thực tế, xác suất của một biến cố được coi là bé phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Chẳng hạn, xác suất một chiếc điện thoại bị lỗi kĩ thuật là 0,001 được cọi là rất bé, nhưng nếu xác suất cháy nổ động cơ của một máy bay là 0,001 thì xác suất này không được cọi là rất bé.

Vận dụng:

Gọi n là số trẻ mới sinh. 

+ Biến cố A: "Sinh con gái". 

Với n phép thử, số lần xuất hiện biến cố A theo đề bài là 10 000 bé gái. Áp dụng công thức có: n.P(A) = 10 000

⇒ n =100000:0,488 $\approx $ 20492.

+ Biến cố B: "Sinh con trai"

Với n = 20 492, số lần xuất hiện biến cố B là:

n.P(B) = 20492. 0,512 $\approx $10492.

Vậy có khoảng 10 492 bé trai.