CHƯƠNG X. XÁC SUẤT

BÀI 2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

HĐKP1:

Không gian mẫu của phép thử trên là:

 $\Omega $ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Ta có: A = {2; 4; 6} => Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

          B = {1; 3; 5} => Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

=> Khả năng xảy ra của hai biến cố là như nhau.

Kết luận:

Giả sử một phép thử có không gian mẫu $\Omega $ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố.

Xác suất của biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

P(A)=$\frac{n(A)}{n(\Omega )}$

Trong đó: n(A) và n(Ω) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập A và $\Omega $

* Chú ý:

• Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.

• Với mọi biến cố A, 0 $\leq $ P(A) $\leq $ 1

• P($\Omega $)=1; P(∅)=0

Xác suất của mỗi biến cố đo lường khả năng xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng gần 1.

Ví dụ 1: SGK-tr82

Thực hành 1:

a) Áp dụng quy tắc nhân, số phần tử của không gian mẫu là:

n($\Omega $) = 6. 6 = 36

Gọi A là biến cố "Hai mặt xuất hiện cùng số chấm".

Ta có A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)}

=> Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 6. Do đó, xác suất của biến cố A là:

P(A) = $\frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$

b) Gọi B là biến cố "Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9".

Ta có: B = {(6; 3), (5; 4), (3; 6), (4; 5)}

=> Số các kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 4. 

Do đó, xác suất của biến cố B là:

P(B) = $\frac{4}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Ví dụ 2: SGK-tr82

Vận dụng:

Số phần tử của không gian mẫu là n($\Omega $) = C$_{10}^{2}$ = 45

Gọi A là biến cố lấy được hai viên bi cùng màu. Số khả năng thuận lợi cho A là:

n(A) = C$_{5}^{2}$ + C$_{5}^{2}$ = 20

=> Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{20}{45}$ = $\frac{4}{9}$

Gọi B là biến cố lấy được hai viên bi khác màu. Số khả năng thuận lợi cho B là:

n(B) = C$_{5}^{1}$. C$_{5}^{1}$ = 25

=> Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{25}{45}$ = $\frac{5}{9}$

Ta có: P(A) < P(B) => Biến cố lấy được hai viên bi khác màu có khả năng xảy ra cao hơn.

2. TÍNH XÁC SUẤT BẰNG SƠ ĐỒ HÌNH CÂY

Ví dụ 3: SGK-tr83

Thực hành 2:

Gọi A là biến cố "Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình".

Các kết quả có thể xảy ra được thể hiện ở sơ đồ sau:

Có tất cả 6 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 2 kết quả thuận lợi cho A. Do đó:

P(A) = $\frac{2}{6}$ =$\frac{1}{3}$

3. BIẾN CỐ ĐỐI

HĐKP2:

Trong các số từ 1 đến 10 có 5 số chẵn và 5 số lẻ.

Số phần tử của không gian mẫu là: n($\Omega $) = C$_{10}^{3}$ = 120

Gọi A là biến cố "Tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn", B là là biến cố "Tích các số ghi trên 3 thẻ là số lẻ".

Ta có tích của ba số lẻ là một số lẻ  n(B) = C$_{5}^{3}$ = 10

Xác suất để biến cố B xảy ra là: P(B) = $\frac{10}{12}$ = $\frac{1}{12}$

Xác suất để biến cố A xảy ra là: 

P(A) = 1 - $\frac{1}{12}$ = $\frac{11}{12}$

Vậy xác suất của biến cố tích các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn là $\frac{11}{12}$.

Kết luận:

Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố "Không xảy ra A", kí hiệu là A, được gọi là biến cố đối của A.

$\bar{A}$=Ω\A

P($\bar{A}$) + P(A) = 1

Ví dụ 4: SGK-tr84

Thực hành 3:

a) Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: n($\Omega $) = 6$^{3}$ = 216 

Gọi A là biến cố "Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3"

Biến cố đối của biến cố A là $\bar{A}$: "Tích các số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3".

Để tích của số chấm trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3 thì khi kết quả không xuất hiện mặt 3, 6.

=> Số kết quả thuận lợi cho $\bar{A}$ là: n($\bar{A}$) = 4$^{3}$ = 64

=> Xác suất của biến cố A là: 

P(A) = 1 - P($\bar{A}$) = 1 - $\frac{64}{216}$ = $\frac{19}{27}$.

b) Gọi B là biến cố "Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc lớn 4".

Biến cố đối của biến cố B là $\bar{B}$: "Tổng các số chấm xuất hiện trên mặt ba con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4".

Vì xúc xắc có số chấm nhỏ nhất là 1 nên tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc phải lớn hơn 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1

          4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

=> Có 4 kết quả để tung ba con xúc xắc cho tổng nhỏ hơn hoặc bằng 4  n($\bar{B}$) = 4

=> Xác xuất của biến cố B là: P(B) = 1 - P($\bar{B}$) = 1 - $\frac{4}{216}$ = $\frac{53}{54}$.

Thực hành 4:

a) Số phần tử của không gian mẫu là: 

n($\Omega $) =C$_{12}^{4}$ = 495

Gọi A là biến cố "Không lấy được bi xanh nào" 

=> n(A) = C$_{3}^{0}$. C$_{9}^{4}$ = 126

Xác suất để xảy ra biên cố A là: P(A) = $\frac{126}{495}$ = $\frac{14}{55}$

Xác suất để xảy ra biến cố "Trong 4 bi lấy ra có ít nhất 1 bi xanh là": P($\bar{A}$) = 1 - $\frac{14}{55}$ = $\frac{42}{55}$

b) Gọi B là biến cố "Lấy được ít nhất 2 bi đỏ"

Biến cố đối của biến cố B là "Lấy được 1 viên bi đỏ hoặc không lấy được viên bi đỏ nào"

n(B) = C$_{12}^{4}$ - C$_{4}^{1}$. C$_{8}^{3}$ - C$_{8}^{4}$= 201

Xác suất để xảy ra biến cố B là: P(B) = $\frac{201}{495}$ = $\frac{67}{165}$

4. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

HĐKP3:

Hạt gạo lấy ra là gạo tẻ.

=> Nguyên lí xác suất bé:

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.