CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG 

Hoạt động 1:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' đôi một song song với nhau.

b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ ta sử dụng phép chiếu song song.

Định nghĩa:

- Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng $\Delta $ cắt (α). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M' như sau:

+ Nếu M thuộc $\Delta $  thì M' là giao điểm của (α) và $\Delta $.

+ Nếu M không thuộc $\Delta $ thì M' là giao điểm của (α) và đường thẳng qua M song song với $\Delta $. Điềm M' được gọi là hình chiếu song song của điềm M trên mặt phẳng (α) theo phương $\Delta $. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M' của nó được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương $\Delta $.

- Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương $\Delta $ được gọi là phương chiếu.

Câu hỏi

Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD, ta xác định bóng của từng điểm C và D trên sàn nhà là C' và D'. Khi đó C'D' chính là bóng của song cửa CD.

Khái niệm

Cho hình H. Tập hợp H' các hình chiếu M’ của các điểm M thuộc H qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song đó.

Chú ý

Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.

Ví dụ 1: (SGK – tr.96).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.96).

Luyện tập 1

+) ABCD.EFGH là hình hộp => AD//BC

D∈mp(CDHG) => D là hình chiếu của A trên mp(CDHG) theo phương BC.

+) ABCD.EFGH là hình hộp => ABCD;CDHG là hình bình hành

=> AB // CD, AB = CD và CD // HG, CD = HG nên AB // HG và AB = HG, suy ra ABGH là hình bình hành nên AH // BG

Có: H∈mp(CDHG) => H là hình chiếu của điểm A trên mp(CDHG) theo phương BG

Vận dụng 1

Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi về phía bên trong khung thành.

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG

Hoạt động 2:

Quan sát Hình 4.56a ta thấy:

a) Hình chiếu O' của điểm O nằm trên đoạn A'C'.

b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD lần lượt là A'B' và C'D', chúng song song với nhau.

c) Hình chiếu O' của điểm O là trung điểm của đoạn A'C'.

Tính chất

- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

- Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Câu hỏi

Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

3. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG (TIẾP)

Ví dụ 2: (SGK – tr.97).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.97).

Luyện tập 2

Hình thang ABCD có AB // CD, A'B'C'D' là hình chiếu song song của ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương d (Hình 4.61).

Vì ABCD là hình thang có AB // CD, do đó hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'.

Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' nên nó là hình thang.

Ví dụ 3: (SGK – tr.98).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.98).

Luyện tập 3

∆A'B'C' là hình chiếu của ∆ABC trên mp(P) theo phương d.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Khi đó MN, NP, MP là các đường trung bình của ∆ABC.

Gọi M', N', P' lần lượt là hình chiếu của M, N, P trên mặt phẳng (P) theo phương d.

Vì M là trung điểm của AB nên A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{AM}{MB}$=1. Do vậy A', M', B' thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{A'M'}{M'B'}$=1, tức là M’ là trung điểm của A'B'.

Chứng minh tương tự ta có N' là trung điểm của B'C' và P' là trung điểm của A'C'. Vậy M'N', N'P', M'P' là các đường trung bình của  ∆A'B'C'.

4. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG (TIẾP)

Hoạt động 3:

Trong ba hình đã cho, Hình 4.63a thể hiện hình lập phương chính xác nhất.

Khái niệm

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Câu hỏi

Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a, ta thấy:

- Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam giác;

- Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành;

- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

- Hình biểu diễn của một số hình phẳng (nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu)

+ Hình biểu diễn của Tam giác (tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,…) là một tam giác. 

+Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là một hình bình hành.

+ Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB//CD là một hình thang A’B’C’D’ với A’B’//C’D’ thỏa mãn $\frac{AB}{CD}$=$\frac{A'B'}{C'D'}$.

+ Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Ví dụ 4: (SGK – tr.99).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.99).

Luyện tập 4

Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy ABCD cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD như sau:

Vận dụng 2

Đáp án:

Bài tập 4.30

Giả sử ∆A'B'C'  là hình chiếu của ∆ABC trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu d. 

=> AA'//BB'//CC' // d. 

Do vậy, ∆ABC là hình chiếu của ∆A'B'C' trên mp(ABC) theo phương d.

Bài tập 4.31

Bài 4.31.

Gọi G là trọng tâm của ∆ABC và G' là hình chiếu song song của nó. Gọi M là trung điểm của BC thì A, G, M thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi M' là hình chiếu của M. Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

A', G', M' thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{A'G'}{A'M'}$=$\frac{AG}{AM}$=$\frac{2}{3}$ (1)

B', M', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{B'M'}{M'C'}$=$\frac{BM}{MB}$=1 (2)

Từ (1)(2) suy ra G' là trọng tâm của ∆A'B'C'.