1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG MỘT TAM GIÁC

• Đường trung tuyến của tam giác

Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC, gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC (H.9.27)

?.

Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

• Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

HĐ1. HS thực hành

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

HĐ2. 

Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C 

M là trung điểm của BC.

AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC (định nghĩa)

Ta có:

$\frac{GM}{MA}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$\frac{GB}{NB}=\frac{2}{3}$

$\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}$

Định lí 1:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý: 

Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ 1: (SGK – tr73)

Luyện tập 1:

Vì G là trọng tâm của ∆ABC (gt)

=> $\frac{GB}{NB}=\frac{2}{3}$ hay GB = $\frac{2}{3}$ NB

Ta có: GN = NB – GB = NB - $\frac{2}{3}$ NB = $\frac{1}{3}$NB

<=> 1 = $\frac{1}{3}$ NB =>  NB = 3 cm

GB = $\frac{2}{3}$ NB = $\frac{2}{3}$ . 3 = 2 (cm).

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

Tranh luận:

Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến.

Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó

=> Ta được G là trọng tâm tam giác.

Vận dụng 1:

+ Cắt mảnh bìa hình tam giác. 

+ Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G.

+ Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G 

-> ta thấy mảnh bìa thăng bằng.

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

• Đường phân giác của tam giác

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác  (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (H.9.32)

?.

Mỗi tam giác có 3 đường phân giác.

( Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường phân giác của tam giác nên mỗi tam giác có 3 đường phân giác).

• Sự đồng quy của ba đường phân giác

HĐ3: HS thực hành theo hướng dẫn.

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

Định lí 2:

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ 2: SGK - tr75

Luyện tập 2:

Xét tam giác ABC có:

AM là phân giác

BN là phân giác

AM BN = {I}

=> CI cũng là đường phân giác của tam giác. (tính chất đồng quy của 3 đường phân giác).

Vận dụng 2:

Vì ΔABC đều => AB = AC = BC (tính chất tam giác đều)

Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác => I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC.

Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của ΔABC

Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của ΔABC

Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của ΔABC nên I là trọng tâm của ΔABC.