Giải câu 4 đề 7 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Hình vẽ:

a. Xét tứ giác BFEC có:

∠BFC = $90^{0}$ (CF là đường cao)

∠BEC = $90^{0}$ (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 2 góc bằng nhau

=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có:

∠BFH = $90^{0}$ (CF là đường cao)

∠BDH = $90^{0}$ (AD là đường cao)

=> ∠BFH + ∠BDH = 180o

=> Tứ giác BFHD là tứ giác nội tiếp

b. Xét ΔDHC và ΔDBA có:

∠HDC = ∠BDA = 90o

∠DHC = ∠DBA ( cùng bù với góc ∠FHD )

=> ΔDHC ∼ ΔDBA (g.g)

$\Rightarrow \frac{DH}{BD}=\frac{DC}{DA}$ => DH.DA = DC.DB

c) Ta có: ∠KDI = $90^{0}$ (AD là đường cao)

=> D thuộc đường tròn đường kính KI (1)

Tam giác AFH vuông tại F có FK là trung tuyến nên KF = KH

Do đó ΔKFH cân tại K => ∠KFH = ∠KHF

Mà ∠KHF = ∠CHD (đối đỉnh) => ∠KFH = ∠CHD

Tương tự ΔICF cân tại C (do IF = IC) => ∠IFC = ∠ICF

Từ đó: ∠KFI = ∠KFH + ∠IFC = ∠CHD + ∠ICF = $90^{0}$ (ΔDHC vuông tại D)

=> F thuộc đường tròn đường kính KI (2)

Chứng minh tương tự ∠KEI = $90^{0}$ nên E thuộc đường tròn đường kính KI (3)

Từ (1), (2), (3): 5 điểm K, F, D, I, E thuộc đường tròn đường kính KI

d) Xét ΔMFB và ΔMCE có:

$\widehat{EMC}$ là góc chung

$\widehat{MFB}=\widehat{MCE}$ (tứ giác BFEC nội tiếp)

=> ΔMFB ∼ ΔMCE 

$\Rightarrow \frac{MF}{MC}=\frac{MB}{ME}$ => MF.ME = MB.MC

Chứng minh tương tự: ME. MF = MD. MI

Từ đó: MB.MC = MD. MI

$\Rightarrow \frac{MD}{MB}=\frac{MC}{MI}\Leftrightarrow \frac{MD}{MD-MB}=\frac{MC}{MC-MI}$

Vậy: $\frac{MD}{BD}=\frac{MC}{IC}$