Giải câu 5 bài: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Hướng dẫn vẽ hình: Tam giác ABC vuông cân tại A nhưng ta có thể vẽ tam giác thường cũng được sao cho cạnh dài nhất nằm ở bên trong (ở đây là BC). Sau đó từ C, ta dựng đường thẳng đứng vuông góc lên và lấy điểm D trên đó.

Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt CD tại E tức là từ C kẻ $CF \perp BD$, từ F dựng đường thẳng vuông góc với BD cắt DA tại E hay $EF \perp DB \Rightarrow (CEF)\perp DB$.

Giải: 

Xét tam giác DCB vuông tại C có 

$DB=\sqrt{DC^{2}+CB^{2}}=\sqrt{DC^{2}+AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{3}a$

$DF.DB=CD^{2} \Rightarrow \frac{DF}{DB}=\frac{CD^{2}}{DB^{2}}=\frac{a^{2}}{3a^{2}}=\frac{1}{3}$.

$\left.\begin{matrix} DC \perp AB\\ CA \perp AB\end{matrix}\right\} \Rightarrow AB \perp (DAC) \Rightarrow AB \perp CE$.

Hơn nữa ta có $CE \perp BD $ (do $(CEF) \perp BD)$) $\Rightarrow CE\perp (DAB) \Rightarrow  CE \perp DA$.

Tam giác DCA vuông cân tại đỉnh C mà $CE \perp DA$ nên E là trung điểm của DA.

$\Rightarrow \frac{DE}{DA}=\frac{1}{2}$.

Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có 

$\frac{V_{CDEF}}{V_{ABCD}}=\frac{DC}{DC}.\frac{DE}{DA}.\frac{DF}{DB}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. 

Mà $V_{DABC}=\frac{1}{3}.DC. S_{ABC}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.a^{2}=\frac{a^{3}}{6}$

$\Rightarrow V_{DECF}=\frac{a^{3}}{36}$ (dvtt).