Lời giải Bài 2-Một số bài toán Hình học thường gặp trong đề tuyển sinh vào 10 năm 2017

Lời giải chi tiết :

Đề ra :

Cho ( O ) , đường kính AC .Trên OC lấy điểm B và vẽ đường tròn ( O' ) ,đường kính BC .Gọi M là trung điểm AB .Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt (O') tại I .

a.  Tứ giác ADBE là hình gì ?

b.  Chứng minh : DMBI nội tiếp .

c.  Chứng minh : B , I , C  thẳng hàng và MI = MD .

d.  Chứng minh : MC. DB = MI . DC 

e.  Chứng minh : MI là tiếp tuyến của (O') .

Hướng dẫn giải : 

a.

Ta có : $\left\{\begin{matrix}MA=MB & \\ AB\perp DE & \end{matrix}\right.$

=>  DM = ME 

=>  Tứ giác ADBE là hình bình hành .

Mặt khác , ta có : BD = BE ( AB là đường trung trực của DE ) 

=>  Tứ giác ADBE là hình thoi .

b. Ta có :

• BC là đường kính 
• $I\in (O')$

=>  $\widehat{BID}=90^{\circ}$

Và :  $\widehat{DMB}=90^{\circ}$

=>  $\widehat{BID}+\widehat{DMB}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác  DMBI nội tiếp .   ( đpcm )

c.

Vì AEBD là hình thoi   =>  BE // AD

Mà :  $AD\perp DC$  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=>  $BE\perp DC$             (1)

Ta có :  $\left\{\begin{matrix}BE\perp DC &  & \\ CM\perp DE &  & \\ \widehat{BIC}=90^{\circ} &  & \end{matrix}\right.$

=>  $BI\perp DC $              (2)

Từ (1) , (2)  =>  B , I , E thẳng hàng .   ( đpcm )

Ta có :  $\left\{\begin{matrix}MD=ME & \\ \triangle EID (\widehat{I}=90^{\circ}) & \end{matrix}\right.$

=>   MI là  đường trung tuyến của tam giác vuông DEI .

=>  MI = MD .     ( đpcm )

d. 

Xét $\triangle MCI$  và $\triangle DCB$ , ta có :

• $\widehat{C}$ chung 
• $\widehat{BDI}=\widehat{IMB}$   ( cùng chắn cung MI )

=>  $\triangle MCI\sim \triangle DCB$

=>  $\frac{MC}{DC}=\frac{MI}{DB}<=> MC.DB=MI.DC$    ( đpcm )

e. 

+  Ta có : $\triangle O'IC$  cân  =>  $\widehat{O'IC}=\widehat{O'CI}$

Mặt khác : Tứ giác MBID nội tiếp   =>  $\widehat{MIB}=\widehat{MDB}$     ( cùng chắn cung MB )

+  Ta có:  $\triangle BDE$  cân tại B  =>  $\widehat{MDB}=\widehat{MEB}$

Và  : Tứ giác MECI nội tiếp  =>  $\widehat{MEB}=\widehat{MCI}$   ( cùng chắn cung MI )

=>   $\widehat{O'IC}=\widehat{MIB}$

=>   $\widehat{BIO'}+\widehat{MIB}=\widehat{O'IC}+\widehat{BIO'}=90^{\circ}$

=>  $MI\perp O'I$ tại I nằm trên đường tròn (O')

Vậy  MI là tiếp tuyến của (O') .     ( đpcm )