Lời giải Bài 5 Đề thi thử trường THPT chuyên Đà Nẵng

Lời giải bài 5:

Đề ra : 

Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  $A=\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}$

Lời giải chi tiết :

Ta có  : $(x-y)^{2}$\geq 0,\forall x,y

<=>  $x^{2}-xy+y^{2}\geq xy$

Mà x , y > 0  =>  x + y > 0

Ta có : $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

=>  $x^{3}+y^{3}\geq (x+y)xy$

=>  $x^{3}+y^{3}+1=x^{3}+y^{3}+xyz\geq (x+y)xy+xyz$

=>  $x^{3}+y^{3}+1\geq xy(x+y+z)>0$

Tương tự  : $y^{3}+z^{3}+1\geq yz(x+y+z)>0$

                    $z^{3}+x^{3}+1\geq zx(x+y+z)>0$

=>  $A\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}+\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{zx(x+y+z)}$

<=>  $A\leq \frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=\frac{1}{xyz}=1$

Vậy $A_{max}=1<=> x=y=z=1$ .