Lời giải Ví dụ 2 Các dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào 10

Lời giải ví dụ 2 :

Đề ra : 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng (d) : $y=3x+m^{2}-1$  và parabol (P) : $y=x^{2}$ .

a.  Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m .

b.  Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để  $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .

< Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT ,  TP Hà Nội năm 2016 - 2017 >

Lời giải chi tiết : 

Ta có  :

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : $x^{2}=3x+m^{2}-1$

<=>  $x^{2}-3x-m^{2}+1=0$   (*)

a. Để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m <=> $\Delta > 0,\forall m$

Ta có : $\Delta =(-3)^{2}-4.(-m^{2}+1)=9+4m^{2}-4=4m^{2}+5$

Vì $\Delta =4m^{2}+5> 0,\forall m$

=>  Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt .

=>  (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m .   ( đpcm )

b.  Giả sử (*) luôn có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ . Theo hệ thức Vi-et , ta có : 

$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=3 & \\ x_{1}.x_{2}=-m^{2}+1 & \end{matrix}\right.$

Do đó : $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .

<=>  $x_{1}.x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=1$

<=>   $-m^{2}+1+3+1=1<=>m^{2}=4=> m=\pm 2$

Vậy $ m=\pm 2$ thì $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=1$ .