Tính giá trị biểu thức số phức

Bài tập 1: Cho hai số phức $z_1, z_2$ thoả mãn $z_1; z_2 \neq 0$ và $\frac{1}{z_1+z_2}=\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}$.

Tính giá trị biểu thức $|\frac{z_1}{z_2}|$.

Bài giải:

Từ giả thiết, ta có $frac{1}{z_1+z_2}=\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}$\frac{1}{z_1+z_2}=\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{z_1+z_2}=\frac{2z_1+z_2}{z_1.z_2}$

$\Leftrightarrow z_1.z_2=(2z_1+z_2)(z_1+z_2)$

$\Leftrightarrow z_1.z_2=2z_1^2+3z_1z_2+z_2^2$

$\Leftrightarrow 2z_1^2+2z_1z_2+z_2^2=0$

$\Leftrightarrow 2.(\frac{z_1}{z_2})^2+2(\frac{z_1}{z_2})+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{z_1}{z_2}=\frac{-1}{2}+\frac{i}{2}$

Vậy $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài tập 2: Cho hai số phức $z_1; z_2$ thoả mãn điều kiện $|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|=1.$

Tính giá trị biểu thức $P=(\frac{z_1}{z_2})^2+(\frac{z_2}{z_1})^2$.

Bài giải:

Từ giả thiết ta có $|z_1|=|z_2|=|z_1-z_2|=1 \Leftrightarrow |\frac{z_1}{z_2}|=|\frac{z_1}{z_2}-1|=1.$

Đặt $w=\frac{z_1}{z_2}=x+yi$. Khi đó,

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}=1\\\sqrt{(x-1)^2+y^2}=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=1\\x^2+y^2=2x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$

Vậy $P=w^2+\frac{1}{w^2}=-1.$

Bài tập 3: Kí hiệu $z_1; z_2;z_3; z_4$ là bốn nghiệm của phương trình $z^4-z^2-12=0$. Tính tổng $T=|z_1|+|z_2|+|z_3|+|z_4|$.

Bài giải:

Đặt $z^2=t$, phương trình trở thành $t^2-t-12=0.\Leftrightarrow t=4$ hoặc $t=-3$.

• t=4 thì $z_1=2; z_2=-2.$
• t=-3 thì $z_3=i\sqrt{3}; z_4=-i\sqrt{3}$ 

Vậy $P=4+2\sqrt{3}.$