BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT

1. Khái niệm lôgarit

Bài 1: Độ lớn M (theo độ Richter)…

Đáp án: 

a) Độ lớn theo thang Richter lần lượt là:

A$_{1}$ = 10$^{3,5} \mu $m (M=3,5); A$_{2}$ = 100000$\mu $m (M=5); A$_{3}$ = 100.10$^{4,3} \mu $m (M = 6,3)

b) Độ lớn M phải thoả mãn hệ thức 10$^{M}$=65 000.

Bài 2: Tính...

Đáp án: 

a) log$_{3}\sqrt[3]{3}$=log$_{3}$3$^{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{3}$
b) log$_{\frac{1}{2}}$8=log$_{\frac{1}{2}}$($\frac{1}{2}$)$^{-3}$=-3
c) ($\frac{1}{25}$)$^{log_{5}4}$=(5$^{-2}$)$^{log_{5}4}$=(5$^{log_{5}4}$)$^{-2}$=$\frac{1}{16}$

2. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay

Bài 1: Sử dụng máy tính cầm tay…

Đáp án: 

Để làm tròn đến chữ số thập phân mình muốn:

a) log$_{5}$⁡0,5≈-0,430677

b) log⁡25≈1,397940

c) ln⁡$\frac{3}{2}$≈0,405465.

3. Tính chất của phép tính lôgarit

Bài 1: Cho các số thực dương…

Đáp án: 

a) Bạn Quân viết tích MN theo hai cách: 

C1: $\frac{M}{N}$=a$^{log_{a}(\frac{M}{N})}$

C2: $\frac{M}{N}$=a$^{log_{a}(M)+log_{a}(N)}$ => a$^{log_{a}(M)+log_{a}(N)}$=a$^{log_{a}(MN)}$. 

Từ đó, a$^{log_{a}(\frac{M}{N})}$=log$_{a}$⁡M-log$_{a}$⁡N.

b) Tương tự:

+) C1: $\frac{M}{N}$=a$^{log_{a}\frac{M}{N}}$ 

 C2: $\frac{M}{N}$=$\frac{a^{log_{a}(M)}}{a^{log_{a}(N)}}$=a$^{log_{a}M-log_{a}N} 

=> a$^{log_{a}\frac{M}{N}}$=a$^{log_{a}M-log_{a}N}$ 

Từ đó, log$_{a} \frac{M}{N}$=log$_{a}$M-log$_{a}$N .

+) C1: M$^{\alpha }$=a$^{log_{a}M^{\alpha }}$ 

C2: M$^{\alpha }$=(a$^{log_{a}M}$)$^{\alpha }$=a$^{alog_{a}M}$

=> a$^{log_{a}M^{\alpha }}$=a$^{alog_{a}M}$

Từ đó, $_{a}$M$^{\alpha }$=alog$_{\alpha }$M.

Bài 2: Tính…

Đáp án: 

a) log$_{5}$4+log$_{5} \frac{1}{4}$=log$_{5}$⁡(4.$\frac{1}{4}$)=log$_{5}$⁡1=0

b) log$_{2}$⁡28-log$_{2}$⁡7=log$_{2} \frac{28}{7}$=log$_{2}$⁡4=2

c) log⁡$\sqrt{1000}$=log⁡10$^{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{2}$log⁡10=$\frac{3}{2}$

Bài 3: Độ lớn M của một trận động đất theo thang Richter...

Đáp án: 

a) i) M=log⁡$\frac{10^{5,1}A_{0}}{A_{0}}$=log10$^{5,1}$=5,1 (Richter).

ii) M=log⁡$\frac{65000A_{0}}{A_{0}}$=log⁡65000≈4,8 (Richter).

b) Ta có:

M$_{N}$=log($\frac{A_{N}}{A_{0}}$)=log($\frac{3A_{P}}{A_{0}}$)=log3+log$\frac{A_{P}}{A_{0}}$=log3+M$_{P}\approx $0,5+M$_{P}$

Vậy trận động đất tại N có độ lớn lớn hơn tại P khoảng 0,5 độ Richter.

4. Công thức đổi cơ số

Bài 1: Khi chưa có máy tính, người ta thường tính…

Đáp án: 

Đặt x=N .

⬄ a$^{x}$=N  => xlog a=log N  => x=$\frac{log N}{log a}$   

=> N =$\frac{log N}{log a}$

Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau:…

Đáp án: 

a) log$_{\frac{1}{4}}$8=$\frac{log_{2}8}{log_{2}\frac{1}{4}}$=$\frac{log_{2}2^{3}}{log_{2}2^{-2}}$=-$\frac{3}{2}$

b) 5 .6 .8

=$_{4}$5.$\frac{log_{4}6}{log_{4}5}$.$\frac{log_{4}8}{log_{4}6}$

=8 =2$^{3}$=$\frac{3}{2}$2 =$\frac{3}{2}$ 

Bài 3: Đặt log$_{3}$2 = a…

Đáp án: 

log$_{12}$21=$\frac{log_{3}21}{log_{3}12}$=$\frac{log_{3}(3.7)}{log_{3}(3.2^{2})}$=$\frac{log_{3}3+log_{3}7}{log_{3}3+2log_{3}2}$=$\frac{1+b}{1+2a}$

5. Bài tập

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) log$_{2}$⁡16=log$_{2}$2$^{4}$=4

b) log$_{3} \frac{1}{27}$=log$_{3}$⁡⁡3$^{-3}$=-3

c) log⁡1000=log⁡10$^{3}$=3

d) 9$^{log_{1}12}$=3$^{2log_{3}12}$=(3$^{log_{3}12}$)$^{2}$=144

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa…

Đáp án: 

a) log$_{3}$⁡⁡(1-2x) có nghĩa 

⬄ 1-2x>0⇔x<$\frac{1}{2}$

b) log$_{x+1}$⁡5 có nghĩa

⬄ $\left\{\begin{matrix}x+1>0 & \\ x+1\neq 1 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x>-1 & \\ x\neq 0 & \end{matrix}\right.$

Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay…

Đáp án: 

Để làm tròn đến chữ số thập phân mình muốn:

a) log$_{3}$15 ≈ 2,4650

b) log⁡8-log⁡3 ≈ 0,4260

c) 3ln⁡2 ≈ 2,0794.

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) log$_{6}$⁡9+log$_{6}$⁡4=log$_{6}$36=log$_{6}$⁡6$^{2}$=2

b) log$_{5}$⁡2-log$_{5}$⁡⁡50=log$_{5} \frac{1}{25}$=log$_{5}$⁡⁡5$^{-2}$=-2

c) log$_{3} \sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$log$_{3}$⁡⁡⁡15=$\frac{1}{2}$log$_{3}$⁡⁡⁡5-$\frac{1}{2}$log$_{3}$⁡⁡⁡15=$\frac{1}{2}$log$_{3} \frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$log$_{3}$⁡⁡⁡3$^{-1}$=-$\frac{1}{2}$. 

Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) 9 .4 =3$^{2}$ .2$^{2}$ =4.$\frac{1}{2}$ .log$_{3}$⁡2=4 

b) $\frac{1}{\sqrt{5}}$=log$_{5^{2}}$5$^{\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{4}$

c) 3 .$\sqrt{5}$ .4

=3 .5$^{\frac{1}{2}}$.log$_{5}$2$^{2}$=log$_{2}$3.$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$log$_{3}$5.2log$_{5}$2 

=$\frac{1}{2}$log$_{2}$3.$\frac{log_{2}5}{log_{2}3}$.log$_{5}$2=$\frac{1}{2}$log$_{2}$5.$\frac{1}{log_{2}5}$=$\frac{1}{2}$ 

Bài 6: Đặt log⁡2 = a…

Đáp án: 

a) log$_{4}$9=$\frac{log9}{log4}$=$\frac{log3^{2}}{log2^{3}}$=$\frac{2log3}{2log2}$=$\frac{b}{a}$

b) $_{6}$12=$\frac{log12}{log6}$=$\frac{log(2^{2}.3)}{log(2.3)}$=$\frac{2log2+log3}{log2+log3}$=$\frac{2a+b}{a+b}$

c) log$_{5}$6=$\frac{log6}{log5}$=$\frac{log(2.3)}{log\frac{10}{2}}$=$\frac{log2+log3}{1-log2}$=$\frac{a+b}{1-a}$

Bài 7:

a) Nước cất có nồng độ…

Đáp án: 

a) Độ pH của nước cất là: -log(⁡10$^{-7}$)=7.

b) Nồng độ H+ của dung dịch đó là:  -log⁡(20.10$^{-7}$)≈ 5,7.