Dạng 1: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1 điểm và biết VTPT hoặc cặp VTCP

I.Phương pháp giải

+) Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) khi biết vecto pháp tuyến \vec{n}(A; B; C) và một điểm M_{0}(x_{0}; y_{0}; z_{0}) thuộc (P).

• $\Rightarrow$ phương trình (P) có dạng $A(x-x_{0})+ B(y-y_{0})+ C(z-z_{0})=0$
• Khai triển và rút gọn ta được dạng tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với D = $-(Ax_{0}+By{0}+Cz{0})$

+) Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ba điểm không thẳng hàng M, N, I :

• Tìm vecto pháp tuyến của (P) $\vec{n_{p}}=\left [ \vec{MN},\vec{MI} \right ]$.
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến  $\vec{n_{p}}$ như loại 1

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 5; -7) có vecto pháp tuyến $\vec{n_{p}} (5; -2; -3)$.

Bài giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 5; -7) có vecto pháp tuyến $\vec{n_{p}} (5; -2; -3)$ có phương trình:

5(x-2) -2(y-5) -3(z+7) = 0

$\Leftrightarrow $ 5x - 2y - 3z - 21 = 0.

Bài tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3)

Bài giải:

Ta có: $\vec{AB}=(2;1;-2);\vec{ AC}=(-12;6;0)$

Gọi $\vec{a}=\left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ]=\left ( \begin{vmatrix} 1& -2\\ 6 & 0\end{vmatrix};\begin{vmatrix} -2& 2\\ 0 & -12\end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2& 1\\ -12 & 6\end{vmatrix} \right )=(12;24;24)=(1;2;2)$

Ta chọn vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{AC}(1;2;2)$.

Từ đó ta tìm được phương trình của mặt phẳng (P) là :

1.(x-2) + 2.(y+1) + 2.(z-3) = 0

hay x + 2y + 2z - 6 = 0.