Dạng 1: Tính tích phân dùng phương pháp đồng nhất hệ số với phân thức có mẫu ở dạng tích

I.Phương pháp giải

Ta tách mẫu của phân số dưới dấu tích phân thành các nhân tử. Sau đó tách hàm số đã cho thành các phân số đơn giản có thể dễ dàng lấy nguyên hàm.

Ta có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số để tách.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho $I=\int_{6}^{7}\frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}dx$. Tính I.

Bài giải

Ta có:

$\frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x-5)}+\frac{C}{(x+4)}$.

$\Rightarrow  A(x-5)(x+4)+B(x+2)(x+4)+C(x+2)(x-5)=1$.

+)$x=-2\Rightarrow -14A=1\Rightarrow A=\frac{-1}{14}$.

+)$x=5\Rightarrow 63B=1\Rightarrow B=\frac{1}{63}$.

+)$x=-4\Rightarrow 18C=1\Rightarrow C=\frac{1}{18}$.

Do đó :

$I=\int_{6}^{7}\frac{1}{(x+2)(x-5)(x+4)}dx=\int_{6}^{7}\left (\frac{-1}{14(x+2)}+\frac{1}{63(x-5)}+\frac{1}{18(x+4)}  \right )dx$

$= \frac{-1}{14}(ln9-ln8)+\frac{1}{63}ln2+\frac{1}{18}(ln11-ln10)$

$=\frac{-1}{14}ln\frac{9}{8}+\frac{1}{63}ln2+\frac{1}{18}ln\frac{11}{10}$

Bài tập 2: Cho $I=\int_{4}^{5}\frac{1}{x^{3}-9x}dx$. Tính I.

Bài giải:

Ta có:

$\frac{1}{x^{3}-9x}=\frac{1}{x(x-3)(x+3)}$

$=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x+3}$

$\Rightarrow A(x-3)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-3)=1$

$x=0\Rightarrow A=\frac{-1}{9}.$

$x=3\Rightarrow B=\frac{1}{18}.$

$x=-3\Rightarrow C=\frac{-2}{9}.$

Do đó ta có:

$I=\int_{4}^{5}\frac{1}{x^{3}-9x}dx=\int_{4}^{5}\left (\frac{-1}{9x}+\frac{1}{18(x-3)}+\frac{-2}{9(x+3)}  \right )dx$

$=\frac{-1}{9}(ln5-ln4)+\frac{1}{18}ln2+\frac{-2}{9}(ln7-ln6)$

$=\frac{-1}{9}ln\frac{5}{4}+\frac{1}{18}ln2+\frac{-2}{9}ln\frac{7}{6}$