Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.

I.Phương pháp giải

Bản chất của phương pháp là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc tử và bậc mấu rất lớn thành 2 tích phân có bậc của tử và mẫu nhỏ hơn.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính $I=\int_{1}^{2}\frac{1-x^{5}}{x(1+x^{5})}dx$.

Bài giải:

$I=\int_{1}^{2}\frac{1-x^{5}}{x(1+x^{5})}dx$

$I=\frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{1-x^{5}}{x^{5}(1+x^{5})}d(x^{5})$

$=\frac{1}{5}\int_{1}^{2} \left ( \frac{1}{x^{5}}-\frac{2}{1+x^{5}} \right )d(x^{5})$

$=ln2-\frac{2}{5}ln\frac{33}{2}$

Bài tập 2: Tính $I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$.

Bài giải:

Ta có:

$I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$

$I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$

$=\int_{1}^{2} \frac{(1+x^{2})-x^{2}}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$

$=\int_{1}^{2} \left [ \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x(1+x^{2})} \right ]dx$

$=\int_{1}^{2} \left [ \frac{1}{x^{3}}-\frac{(1+x^{2})-x^{2}}{x(1+x^{2})} \right ]$dx

$=\int_{1}^{2} \left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{x}{1+x^{2}} \right )dx$

$=\int_{1}^{2} \left ( \frac{1}{x^{3}} -\frac{1}{x}\right )dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}$

$=-\frac{1}{2x^{2}}-lnx+\frac{1}{2}ln(1+x^{2})$

$=\frac{3}{8}-ln2+\frac{1}{2}ln\frac{5}{2}$.