Giải câu 12 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 107
Câu 12: trang 107 sgk Đại số 10
Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \(b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2> 0,\forall x\)
Đặt \(f(x)=b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2\)
\({\Delta = {{\left( {{b^2} + {c^2}-{a^2}} \right)}^2}-4{b^2}{c^2}}\)
\({ = \left( {{b^2} + {c^2}-{a^{2}} + 2bc} \right)\left( {{b^2} + {c^2}-{a^2} - 2bc} \right)}\)
\({ = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{a^2}} \right]}\)
\(=(b+c+a)(b+c-a)(b-c-a)(b-c+a)< 0\)
Vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba
Nên \(b+a+c>0,b+c - a>0, b-c+a>0, b - c - a<0\)
Do đó \(f(x)\)cùng dấu với \(b^2>0, ∀x\).
Hay \({b^2}{x^{2}}-({b^2} + {c^2}-{a^2})x + {c^2} > 0,\forall x\)
Bình luận