Giải câu 5 bài 2: Cực trị của hàm số

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Nếu a=0 thì y=-9x+b nên hàm số luôn nghịch biến và không có cực trị.

Nếu $a\neq 0$ ta có $y'=5a^{2}x^{2}+4ax-9=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=\frac{1}{a}\hfill \cr x= -\frac{9}{5a}\hfill \cr} \right.$

• Với $a<0$ ta có bảng biến thiên sau

Theo giả thiết $x_{0}=-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại nên $\frac{1}{a}=-\frac{5}{9} \Leftrightarrow a=-\frac{9}{5}$ 

Hơn nữa $y_{ct}=y(-\frac{9}{5a})=y(1)>0\Leftrightarrow b > \frac{36}{5}$.

• Với a> 0 ta có bảng biến thiên sau:

Theo giả thiết $x_{0}=-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại nên $-\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow a=\frac{81}{25}$.

Hơn nữa $y_{CT}=y(\frac{1}{a})=-\frac{400}{243}+b>0 \Leftrightarrow b> \frac{400}{243}$

Vậy giá trị a, b cần tìm là $\left\{\begin{matrix}a=-\frac{9}{5}\\ b> \frac{36}{5}\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a=\frac{81}{25}\\ b> \frac{400}{243}\end{matrix}\right.$