Tìm điều kiện của tham số để hàm số có hai cực trị thoả mãn điều kiện nào đấy.

I. Phương pháp giải

Ta giải bài toán theo hai bước:

• Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị;
• Bước 2: Đưa điều kiện đối với $x_{1}$ và $x_{2}$ về điều kiện với tham số. Ở bước này ta thường sử dụng định lí Vi-ét ($x_{1}$ và $x_{2}$  là các nghiệm của $y^{'}$).

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số $y = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 9x - m$, với m là tham số. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại $x_{1}$, $x_{2}$ sao cho | $x_{1}$ - $x_{2}$| $\leq $ 2.

Bài giải:

Ta có $y^{'} = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 9$.

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại $x_{1}$, $x_{2}$ $\Leftrightarrow y^{'} = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 9$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$.

$\Leftrightarrow$ $\bigtriangleup ^{'} = 9.((m + 1)^{2} - 3 )> 0 $ $\Leftrightarrow m > -1 + \sqrt{3}$ hoặc $m < -1 - \sqrt{3}$ (1).

+) Theo định lí Vi-ét ta có: $x_{1}$ + $x_{2}$ = 2(m + 1); $x_{1}$.$x_{2}$ = 3. Khi đó:

 |$x_{1}$ - $x_{2}$| $\leq $ 2 $\Leftrightarrow$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ - 4$x_{1}$.$x_{2}$ $\leq 4$.

$\Leftrightarrow 4(m + 1)^{2} - 12 \leq 4$.

$\Leftrightarrow (m + 1)^{2} \leq 4$.

$\Leftrightarrow -3 \leq m \leq 1$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $-3 \leq m < -1 - \sqrt{3}$ và $-1 + \sqrt{3}<  m\leq 1$.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} + 3(m -2)x + \frac{1}{3}$,với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} + 2x_{2} = 1$.

Bài giải:

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2(m -1)x + 3(m -2).$

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow $ $y^{'} = x^{2} - 2(m -1)x + 3(m -2)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$.

$\Leftrightarrow $ $\bigtriangleup ^{'} = m^{2} - 5m + 7 > 0$ (đúng với mọi m).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = 2(m -1)\\ x_{1}.x_{2} = 3(m -2) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x_{2} = 3 - 2m\\ x_{2}.(1 - 2x_{2})= 3(m -2)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 8m^{2} - 19m + 9 = 0$.

$\Leftrightarrow $ $m = \frac{-19 +\sqrt{73}}{16}$ hoặc  $m = \frac{-19 -\sqrt{73}}{16}$.