Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường THPT chuyên Thái Bình

Lời giải bài 1 :

Đề ra :

a) Giải hệ phương trình sau :  $\left\{\begin{matrix}2x-y=3 & \\ x+2y=-1 & \end{matrix}\right.$

b) Cho hàm số  $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$  .Tìm điều kiện của a để miền giá trị của hàm số $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .

Lời giải chi tiết:

a.    $\left\{\begin{matrix}x+y=x+1 & \\ x-3y=2 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}y=1 & \\ x-3y=2 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}y=1 & \\ x-3=2 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}y=1 & \\ x=5 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x,y)=(5,1)$ .

b.  $y=\frac{x+1}{x^{2}+a}$ 

Đk : $x^{2}\neq -a$

Gọi T là miền giá trị của hàm số => Tồn tại ít nhất 1 số $y_{0}\in T$  sao cho : $y_{0}=\frac{x+1}{x^{2}+a}$  có nghiệm .

<=>  $y_{0}x^{2}+ay_{0}=x+1$

<=>  $y_{0}x^{2}-x+ay_{0}-1=0$                (1)

Nếu  $y_{0}=0$ ,(1) => x = -1 .Với Đk : $x^{2}\neq -a$  <=> $a\neq -1$

Nếu  $y_{0}\neq 0$  , (1)  có nghiệm <=> $\Delta {}'\geq 0$

<=>  $1-4y_{0}(ay_{0}-1)\geq 0$

<=>  $4ay_{0}^{2}-4y_{0}-1\leq 0$                 (2)

+ Với  a = 0 , (2) =>  $y_{0}\geq \frac{-1}{4}$  chứa  $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$ .

=>  a = 0 ( thỏa mãn ) .

+ Với a > 0 , (2)  <=> $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq y\leq \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} (\Delta {}'=4(1+a))$

Để miền giá trị chứa   $\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}$  thì  :

         $\left\{\begin{matrix}\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a}\leq 0 & \\ \frac{1+\sqrt{1+a}}{2a} \geq 1& \end{matrix}\right.$

<=>    $\left\{\begin{matrix}\sqrt{1+a}\geq 1   (luôn đúng ) & \\ \sqrt{1+a}\geq 2a-1    (*) & \end{matrix}\right.$

(*) <=>     Hoặc  $2a-1\leq 0$  hoặc  $\left\{\begin{matrix}a+1\geq (2a-1)^{2} & \\ 2a-1\geq 0 & \end{matrix}\right.$

<=>         Hoặc  $a\leq \frac{1}{2}$   hoặc  $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \\  4a^{2}-5a\leq 0& \end{matrix}\right.$

<=>         Hoặc  $a\leq \frac{1}{2}$   hoặc   $\left\{\begin{matrix}a\geq \frac{1}{2} & \\  0<a\leq \frac{5}{4}& \end{matrix}\right.$

<=>         Hoặc  $a\leq \frac{1}{2}$   hoặc   $\frac{1}{2}\leq a\leq \frac{5}{4}$

<=>        $a\leq \frac{5}{4}$ .                 (3)

Với a < 0 , $a\leq -1$  =>  $\Delta {}'=2(1+a)\leq 0$  => (2) luôn đúng .

=>  $a\leq -1$  ( thỏa mãn ) .

Với a < 0 , $-1<a<0$  ,Để miền giá trị này chứa (0 , 1)  thì  :

         $\frac{1-\sqrt{1+a}}{2a} \leq 0$ 

<=>    $\sqrt{1+a}\leq 1$

<=>    a < 0 .                   (4)

Từ (3) ,(4)  =>  Giá  trị của a thỏa mãn bài ra là : $\left\{\begin{matrix}a\leq \frac{5}{4} & \\ a\neq -1 & \end{matrix}\right.$