Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 3:

Đề ra : 

Cho a , b , c là các số thực dương.

Chứng minh rằng :      $\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}\geq 0$   (*)

Lời giải chi tiết :

Giả sử (*) đúng  <=> $\frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}-1+\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}-1+\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}-1\geq -3$

<=>  $\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}\leq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

• $\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}\geq \frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• $\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{(c+a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}$
• $\frac{a^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}$

=>   $ \frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+ \frac{(a+b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}=3$

=>  ( đpcm ) . Dấu " = " xảy ra  <=> a = b = c .