Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho đường tròn (O, R) , dây BC cố định và $\widehat{BOC}=120^{\circ}$ . Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ ABC nhọn. Hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M và E là điểm đối xứng với C qua N. Đường tròn $(O_{1};R_{1})$ ngoại tiếp ∆ ABD và đường tròn $(O_{2};R_{2})$ ngoại tiếp ∆ ACE cắt nhau tại điểm thứ hai K.

1.  Chứng minh rằng tứ giác BHCK nội tiếp.

2.  Chứng minh rằng $MN//O_{1}O_{2}$ và ba điểm E, B, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

1.   Ta có :  $\widehat{BOC}=120^{\circ}=> \widehat{BAC}=60^{\circ}$

=>  $\widehat{ABM}= \widehat{ACN}=30^{\circ}$ 

=>  $\widehat{BHC}=120^{\circ}$

Xét ( $O_{1}$ ) ta có :

• $\widehat{AKB}= \widehat{ADB}$ 
• $\widehat{ADB}= \widehat{ABD}$   ( ∆ ABD cân tại A )

=>  $\widehat{ADB}=30^{\circ}$

=>  $\widehat{AKB}=30^{\circ}$

Tương tự : $\widehat{AKC}=30^{\circ}$

=>  $\widehat{AKB}+ \widehat{AKC}=\widehat{BKC}=60^{\circ}$ 

=>  $\widehat{BKC}+ \widehat{BHC}=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$ 

=>   Tứ giác BHCK nội tiếp.   ( đpcm )

2.  Theo bài ra : $O_{1}O_{2}\perp AK$

Kẻ tiếp tuyến At của (O) tại A  =>  $\widehat{AMN}= \widehat{ABC}$   ( cùng bù với  $\widehat{MNC}$ )

Mà :  $\widehat{ABC}= \widehat{tAC}$ =>  $\widehat{AMN}= \widehat{tAC}$

=>  At // MN .

Mặt khác , ta có :  $OA\perp At=> MN\perp OA$ 

Vì : $\widehat{AKB}= \widehat{AKC}=30^{\circ}$   => AK là phân giác $\widehat{BKC}$  .   (1)

Ta có : $\widehat{BOC}+\widehat{AKC}=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác BOCK nội tiếp , OB = OC =>  $\widehat{OKB}= \widehat{OKC}$ .

=>  KO là phân giác  $\widehat{BKC}$  .                             (2)

Từ (1) , (2)   =>  A , O , K thẳng hàng .

Mà : $MN\perp OA=> MN\perp AK$
         $O_{1}O_{2}\perp AK$

=>   $O_{1}O_{2}// MN$ .       ( đpcm )

Ta có : 

• $\widehat{EBC}= 2\widehat{ABC}=\widehat{AOC}$
• $\widehat{CBK}= \widehat{KOC}$

=>  $\widehat{EBC}+ \widehat{CBK}=\widehat{AOC}+ \widehat{COK}=\widehat{AOK}=180^{\circ}$

=>  E , B , K thẳng hàng     ( đpcm ) .