Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( A, B là hai tiếp điểm  ).Qua A vẽ đường thẳng song song MB cắt đường tròn tại C . Đoạn thẳng MC cắt đường tròn tại D .Hai đường thẳng AD và MB cắt nhau tại E .Chứng minh rằng :

a.  Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn .

b.  $ME^{2}=ED.EA$ 

c.  E là trung điểm của đoạn MB .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Xét tứ giác MAOB , ta có :

$\widehat{MAO}=90^{\circ}$    ( tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm )

$\widehat{MBO}=90^{\circ}$    ( tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm )

=>  $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

Vậy tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp đường tròn.  (đpcm)

b.  Xét $\triangle MED$  và $\triangle AEM$ có:

$\widehat{DME}=\widehat{ACM}$         ( so le trong )

$\widehat{MAE}=\widehat{ACM}$         ( cùng chắn cung AD )

=>  $\widehat{DME}=\widehat{MAE}$    (1)

Mà  $\widehat{E}$  chung .                   (2)

Từ (1) , (2) =>  $\triangle MED\sim \triangle AEM$

<=>   $\frac{ME}{AE}=\frac{ED}{EM}$

=>  $ME^{2}=ED.EA$    (đpcm).    (*)

c.  Xét  $\triangle BED$ và  $\triangle AEB$ , có : 

$\widehat{EBD}=\widehat{BAD}$       ( cùng chắn cung BD )

$\widehat{E}$  chung .   

=>   $\triangle BED\sim \triangle AEB$

<=>  $\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EB}$

=>    $EB^{2}=ED.EA$      (**)

Từ (*), (**) =>  EM = EB  hay E là trung điểm của  đoạn MB .