I. CỘNG HAI ĐA THỨC

HĐ1:

a) Tổng P + Q được viết theo hàng ngang như sau:

P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, ta được:

P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

= (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) Tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được:

P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

= 2x² + 2y².

=> Nhận xét: Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

• Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang.
• Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
• Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Ví dụ 1: (SGK – tr11)

Luyện tập 1:

M + N = (x³ + y³) + (x³ – y³)

= (x³ + y³) + (x³ – y³) = x³ + y³ + x³ – y³

= (x³ + x³) + (y³ – y³) = 2x³.

Ví dụ 2: (SGK-tr12)

II. TRỪ HAI ĐA THỨC

HĐ2:

a) Hiệu P – Q được viết theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc, ta được:

P – Q = (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²).

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đổng dạng với nhau, ta được:

P – Q = x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y²

= (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) Tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm như sau:

P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²) = 4xy.

=> Nhận xét: Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

• Viết hiệu P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.
• Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
• Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Ví dụ 3: (SGK – tr13)

Luyện tập 2:

Trong Ví dụ 3 có các đa thức:

A = x² – 2xy + y²;

B = 2x² – y²;

C = x² – 3xy.

a) B – C = (2x² – y²) – (x² – 3xy)

= 2x² – y² – x² + 3xy = (2x² – x²) + 3xy – y²

= x² + 3xy – y²;

b) (B – C) + A = (x² + 3xy – y²) + (x² – 2xy + y²)

= x² + 3xy – y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (3xy – 2xy) + (y² – y²)

= 2x² + xy.

III. NHÂN HAI ĐA THỨC

1. Nhân hai đơn thức

HĐ3.

a) Ta có 3x² . 8x⁴ = (3 . 8) (x² . x⁴) = 24x⁶.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:

Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:

• Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;
• Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

=> Nhận xét: Tương tự như đối với đơn thức một biến, để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:

• Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
• Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ 4: SGK – tr13

Luyện tập 3:

Tích của hai đơn thức đã cho là:

x³y⁷ . (−2x⁵y³)

= −2 (x³. x⁵) (y⁷. y³)

= −2x⁸y¹⁰.

2. Nhân đơn thức với đa thức:

HĐ4:

a) Ta có:

11x³ . (x² – x + 1)

= 11x³ . x² – 11x³ . x + 11x³ . 1

= 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

=> Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 5: (SGK-tr14)

Luyện tập 4.

$(-\frac{1}{2}xy).(8x^{2}-5xy+2y^{2})$

= $(-\frac{1}{2}xy).8x^{2}-(-\frac{1}{2}xy).5xy+(-\frac{1}{2}xy).2y^{2}$

= $-4x^{3}y+\frac{5}{2}x^{2}y^{2}-xy^{3}$

3. Nhân hai đa thức:

HĐ5:

a) Ta có: (x + 1)(x² – x + 1)

= x . x² – x . x + x . 1 + x² – x + 1

= x³ – x² + x + x² – x + 1

= x³ + (x² – x²) + (x – x) + 1= x³ + 1.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

=> Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 6. (Sgk-tr14)

Luyện tập 5:

Ta có: (x – y)(x – y)

= x . x – x . y – y . x + y . y

= x² – 2xy + y².

Ví dụ 7. (SGK-tr14)

IV. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

1. Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

HĐ6.

Ta có:

 9x⁵y⁴ . 2x⁴y² 

= (9. 2) (x⁵. x⁴) (y⁴. y²)

= 18x⁹y⁶.

Nhận xét: Đơn thức A chia hết cho đơn thức B  (B ≠ 0), khi  mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

=> Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm như sau:

• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B.
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Lưu ý:

Ta có:

x^m : xⁿ = x^m-n ; (m, n ∈ N^*, m > n);

x^m : x^m = 1 (m ∈ N*)

Ví dụ 8: SGK – tr15

Luyện tập 6:

Ta có: P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³)

= (21 : 7) (x⁴: x³) (y⁵: y³)

= 3xy².

Giá trị của biểu thức P tại x = −0,5; y = −2 là: 3 . (−0,5) (−2)² = −1,5 . 4 = −6.

2. Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức:

HĐ7.

Ta có: (3xy)(x + y)

= 3xy . x + 3xy . y

= 3x²y + 3xy².

Nhận xét: Đa thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 9: SGK – tr16

Luyện tập 7:

Thương trong phép chia đa thức 12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴ cho đơn thức 3x³y³ là:

(12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴): (3x³y³)

= 12x³y³ : 3x³y³– 6x⁴y³ : 3x³y³+ 21x³y⁴: 3x³y³

= 4 – 2x+ 4y.