I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1

Trong tứ giác ABCD có: 

• $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90°
• AB = BC = CD = DA 

Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ 1: (SGK – tr.116)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.116).

II. TÍNH CHẤT 

HĐ2

a) Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật, vì có 4 góc vuông.

b) Mỗi hình vuông là một hình thoi, vì có 4 cạnh bằng nhau.

Nhận xét: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Định lí: Trong một hình vuông:

• Các cạnh đối song song;
• Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường.
• Hai đường chéo là các đường phân giác của góc ở đỉnh.

Ví dụ 2: (SGK – tr.117)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).

Luyện tập 1

Do ABCD là hình vuông $\widehat{DAB}=90^{o}$ và AC là tia phân giác của $\widehat{DAB}$

=> $\widehat{CAB}=\widehat{DAC}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=\frac{1}{2}.90^{o}=45^{o}$

Ví dụ 3: (SGK – tr.117)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

HĐ3

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên:

$\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90° và AB = CD; AD = BC.

Mà AB = BC => AB = BC = CD = DA

Tứ giác ABCD có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông.

b)

Vì ABCD là hình chữ nhật => Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường.

Mà AC ⊥ BD => AC là trung trực của BD

Do ABCD là hình chữ nhật => $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}$ = 90° và AB = CD; AD = BC

Mà AC là trung trực của BD

=> AB = AD; CB = CD

=> AB = BC = CD = DA

Tứ giác ABCD có 4 góc vuông, 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông

c) 

ABCD là hình chữ nhật => $\widehat{B}=90^{o}$ và AD // BC => $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (so le trong).

Có AC là tia phân giác của $\widehat{DAB}$ => $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$

=> $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$.

∆ABC vuông tại B, có $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$

=> ∆ABC vuông cân tại B.

Do ∆ABC vuông cân tại B nên BA = BC

Theo kết quả câu a, hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề BA và BC bằng nhau nên là hình vuông.

Dấu hiệu nhận biết

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Ví dụ 4: (SGK – tr.118)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.118)

Luyện tập 2

Xét 2 tam giác vuông GEC và HDB có:

• EC = DB (gt)
• $\widehat{C}=\widehat{B}$ (ABC là tam giác vuông cân tại A )

=> 2 tam giác vuông GEC và HDB bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn

=> GE = HD, GC = HB (1)

Tam gác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{C}=\widehat{B}$ = $45^{\circ}$

=> Tam giác DBH vuông cân tại D, hay

• DH = DB => GE = DB = DE (2)
• $\widehat{DHB}=\widehat{DBH}$ = $45^{\circ}$ (3)

Từ (1) GC = HB => GA = AH => tam giác AGH vuông cân tại H => $\widehat{AHG}=\widehat{AGH}$ = $45^{\circ}$ (4)

Từ (3) và (4) =>  $\widehat{GHD}$ = $180^{\circ}$ - $45^{\circ}$ - $45^{\circ}$ = $90^{\circ}$

Xét tứ giác EGHD có: 3 góc vuông $\widehat{GHD}$, $\widehat{HDE}$, $\widehat{DEG}$ nên góc còn lại $\widehat{EGH}$ cũng là góc vuông

=> EGHD là hình chữ nhật. Thêm nữa là có 2 cạnh liền kề GE = ED nên là hình vuông (đpcm)