Giải Câu 2 Bài 5: Khoảng cách

a) Chứng minh $AH, SK, BC$ đồng qui

Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\)   (1)

\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\)                             (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\(\Rightarrow BC ⊥ SE\).

Vì \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC(gt)\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).

b) Chứng minh $SC\perp (BHK), HK \perp (SBC)$

• Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $BH\perp AC$.  (3)

Mà $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(ABC)$ (do $SA\perp (ABC)-gt$)

=> $BH\perp SC$ (định lý ba đường vuông góc)   (4)

Từ (3)(4) suy ra: $SC \perp (BHK)$.

• Ta có: $SC \perp (BHK),SC\subset (SBC)$=>$(BHK)\perp (SBC)$  (5)

Vì: $BC\perp (SAE) - cmt,BC\subset (SBC)=>(SAE)\perp (SBC)$  (6)

Từ (5) (6) và $(SAE)\cap (BHK)=HK$ => $HK\perp (SBC)$

c) Xác định đường vuông góc chung của $BC,SA$

Ta có: \(AE\bot BC\) (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)

mặt khác: $SA \perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AE$

\(\Rightarrow AE\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).