Giải Câu 57 Bài: Ôn tập chương 3 sgk Toán 8 tập 2 Trang 92

• Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M.
• Chứng minh

AD là đường phân giác của ∆ABC

=>\({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}\)  mà $AB < AC$

=>$DB < DC$

=> $DB + DC < DC + DC$ (cùng cộng hai vế với CD)

=> $BD + DC < 2DC$

hay \(BC < 2DC => DC >{{BC} \over 2}\) (1)

Vì M là trung điểm của BC nên \(MC = {{BC} \over 2}\) (2)

Từ (1) (2) => DC > MC => M nằm giữa D và C (*)

Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \widehat {C}\) (do ∆CAH vuông tại H)

và \(\widehat {A} + \widehat {B} + \widehat {C} = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC)

=>\(\widehat {CAH} = {{\hat A + \hat B + \hat C} \over 2} - \hat C\)

=>\(\widehat {CAH} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B} \over 2} - {{\hat C} \over 2} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B - \hat C} \over 2}\)

Vì AB < AC =>\(\widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\)

Do đó: \(\widehat {CAH} > {{\hat A} \over 2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\)

=> Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC => D nằm giữa hai điểm H và C (**)

Từ (*) và (**) => D nằm giữa H và M.