Lời giải Bài 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải  bài 2 :

Đề bài :

a.  Cho phương trình: $2013x^{2}-(m-2014)x-2015$ , với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn  :

                           $\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}$

b.  Giải phương trình :  $\frac{1}{(2x+1)^{2}}+\frac{1}{(2x+2)^{2}}=3$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có:  $\Delta = (m - 2014) ^{2}+ 4 . 2013 . 2015 > 0$ với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 

Theo hệ thức Vi- et , ta có  :  $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{m-2014}{2013} & \\ x_{1}.x_{2}=\frac{-2015}{2013} & \end{matrix}\right.$

Từ :  $\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1}=\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}$

<=> $\left\{\begin{matrix}2014= (\sqrt{x_{1}^{2}+2014}+x_{1})(\sqrt{x_{2}^{2}+2014}+x_{2}) & \\ 2014= (\sqrt{x_{1}^{2}+2014}-x_{1})(\sqrt{x_{2}^{2}+2014}-x_{2}) & \end{matrix}\right.$

Vậy m = 2014 là giá trị thoả mãn đề bài. 

b.   $\frac{1}{(2x+1)^{2}}+\frac{1}{(2x+2)^{2}}=3$ .     (*)

Đk :  $x\neq 1;x\neq \frac{-1}{2}$

Đặt 2x + 1 = t  

(*) =>  $\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}=3$

<=>  $(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1})^{2}+\frac{2}{t(t+1))}-3=0$    (1)

Đặt   $\frac{1}{t(t+1)}=y$

(1)  =>  $y^{2}+2y-3=0$

=>  $y_{1}=1;y_{2}=-3$ 

+  Với y = 1 <=>  $\frac{1}{t(t+1)}=1=> t(t+1)=1=> t^{2}+t-1=0$

=>  Hoặc  $t_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc  $t_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ .

Nếu  $t_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$  =>  $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{4}$   ( t/mãn )

Nếu  $t_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$    => $x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{4}$     ( t/mãn )

+  Với  y = - 3  <=>   $\frac{1}{t(t+1)}=-3=> t(t+1)=\frac{-1}{3}> t^{2}+t+\frac{1}{3}=0$  (*)

Ta có : $\Delta =1-\frac{4}{3}< 0$  =>  (*) vô nghiệm .

Vậy pt có hai nghiệm  $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{4}$  ;  $x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{4}$ .