Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung AB ( $M\neq A,M\neq B$ ) và I là điểm thuộc đoạn OA ( $I\neq O,I\neq A$ ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM, đường thẳng này cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM với IC, F là giao điểm của BM với ID.

Chứng minh rằng:

a.  Tứ giác MEIF là tứ giác nội tiếp .

b.  EF // AB .

c.  OM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM.

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có : 

•  Tứ giác ACMI nội tiếp .
•  Tứ giác BDMI nội tiếp .

=>  $\left\{\begin{matrix}\widehat{I_{1}}=\widehat{A}_{1}& \\ \widehat{I_{2}}=\widehat{B}_{1}& \end{matrix}\right.$

=>  $\widehat{I_{1}}+\widehat{I_{2}}=\widehat{A}_{1}+\widehat{B_{1}}$

Mà  $\widehat{A_{2}}+\widehat{B_{2}}=90^{\circ}$

        $\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{B_{2}}=180^{\circ}$

=>   $\widehat{I_{1}}+\widehat{I_{2}}=90^{\circ}$

=>   $\widehat{EIF}=\widehat{EMF}=90^{\circ}$

=>  Tứ giác MEIF nội tiếp .   ( đpcm ) 

b.  Ta có :  $\left\{\begin{matrix}\widehat{I_{1}}=\widehat{F_{1}} & \\ \widehat{I_{1}}=\widehat{A_{1}} & \end{matrix}\right.$

Xét ( O ) ta có : $\widehat{B_{2}}=\widehat{A_{1}}$  ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM ) .

=>  $\widehat{B_{2}}=\widehat{F_{1}}$ ,   mà chúng ở vị trí đồng vị   => EF // AB .   ( đpcm ) 

c.  Ta có : OA = OM  => $\widehat{A_{2}}=\widehat{M_{1}}$

Mà  $\widehat{A_{2}}=\widehat{C_{1}}$   ( cùng chắn cung IM )

=>  $\widehat{M_{1}}=\widehat{C_{1}}$

=>  OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME .                                  (1)

Tương tự :  OM = OB =>  $\widehat{M_{2}}=\widehat{B_{2}}$

Mà  $\widehat{D_{1}}=\widehat{B_{2}}$   ( cùng chắn cung IM )

=>  $\widehat{D_{1}}=\widehat{M_{2}}$

=>   OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF .                                   (2)

Từ (1) , (2)  =>  OM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM và DFM .    ( đpcm )