Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của Trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn : $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2014$        (*)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $T=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{x^{2}+y^{2}} &  & \\ b=\sqrt{y^{2}+z^{2}} &  & \\ c=\sqrt{z^{2}+x^{2}} &  & \end{matrix}\right.$      (**)

(*) =>  a + b + c = 2014                                                                                                                                                                                            (1)

(**) => $\left\{\begin{matrix}x^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2} &  & \\ y^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}&  & \\ z^{2}=\frac{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} &  & \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :  

$\left\{\begin{matrix}y+z\leq \sqrt{2(y^{2}+z^{2})}=b\sqrt{2} &  & \\ z+x\leq\sqrt{2(z^{2}+x^{2})}=c\sqrt{2}&  & \\ x+y\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}=a\sqrt{2} &  & \end{matrix}\right.$

Ta có :  $T=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}$ .

=>   $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{b}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{c}+\frac{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a})$

<=>  $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{a^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}-a-b-c)$                 (2)

Áp dụng BĐT Cauchy , ta lại có :  

$\left\{\begin{matrix}\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a;\frac{c^{2}}{b}+b\geq 2c &&\\ \frac{a^{2}}{c}+c\geq 2a;\frac{b^{2}}{c}+c\geq 2b &&\\ \frac{b^{2}}{a}+a\geq 2b;\frac{c^{2}}{a}+a\geq 2c && \end{matrix}\right.$

=>   $\frac{a^{2}}{b}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}\geq 4(a+b+c)-2(a+b+c)=2(a+b+c)$             (3)

Từ (2) , (3)   =>   $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(a+b+c)$                                                                                                                                                     (4)

Từ (1) , (4)   =>   $T\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}2014=\frac{2014}{2\sqrt{2}}$

Vậy $T_{min}=\frac{2014}{2\sqrt{2}}$   khi  $x=y=z\frac{2014}{2\sqrt{2}}$ .