Lời giải Bài 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 3 :

Đề bài :

Cho tam giác ABC không tù, có đường cao AH và tia phân giác trong BD của $\widehat{ABC}$ cắt nhau tại E  ($H\in BC;D\in AC$ )  sao cho AE = 2EH và BD = 2AE. Chứng minh rằng tam giác ADE đều.

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có BE là phân giác của $\triangle ABH$ nên   $\frac{EH}{EA}=\frac{BH}{BA}$

Mà AE = 2EH ( gt)  =>  $\frac{EH}{2EH}=\frac{BH}{BA}=\frac{1}{2}$

Xét $\triangle ABH$ có :   $\cos \widehat{B}=\frac{BH}{BA}=\frac{1}{2}=>\widehat{B}=60^{\circ}  $

=>   $\widehat{EBH}=\widehat{EBA}=\widehat{EAB}=30^{\circ}  $

        $\widehat{BEH}=\widehat{AED}=60^{\circ}  $     (1)

=>  $\triangle ABE$  cân tại E =>  AE = BE .

Mà BD = 2AE (gt) => AE = DE =>  $\triangle ADE$  cân.    (2)

Từ (1), (2) =>  $\triangle ADE$  đều   (đpcm ).