Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của . tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF của nửa đường tròn (O) ( với F là tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tại D. Biết AF =$\frac{4R}{3}$.

a) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp. Định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF.

b) Tính $\cos \widehat{DAB}$ .

c) Kẻ OM ⊥ BC ( M ∈ AD) . Chứng minh : $\frac{BD}{DM}-\frac{DM}{AM}=1$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.   Ta có : $\widehat{DBO}=90^{\circ}$ ,$\widehat{DFO}=90^{\circ}$  (t/c tiếp tuyến)

=>   $\widehat{DBO}+\widehat{DFO}=180^{\circ}$

=>  Tứ giác OBDF nội tiếp đường tròn.  (đpcm)

=>  Khi đó Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF chính là trung điểm của OD ( IO = ID ).

b.  Áp dụng địn lý Py- ta-go cho tam giác OFA vuông ở F , ta có :

  $OA=\sqrt{OF^{2}+AF^{2}}=\sqrt{R^{2}+(\frac{4R}{3})^{2}}=\frac{5R}{3}$

=>  $\cos \widehat{FAO}=\frac{AF}{OA}=\frac{4R}{3}:\frac{5R}{3}=0,8$

Mà $ \widehat{FAO}=\widehat{DAB}$  

=>    $\cos \widehat{FAO}=\cos \widehat{DAB}$

=>    $\cos \widehat{DAB}=0,8$ .

c.  Ta có : OM // BD   ($\perp BC$  )

=> $ \widehat{MOD}=\widehat{BDO}$    ( so le trong )

     $ \widehat{ODM}=\widehat{BDO}$    ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau )

=>  $ \widehat{MDO}=\widehat{MOD}$ 

Vậy tam giác MOD cân tại M  => MD = MO .

Áp dụng hệ quả định lí Talet cho tam giác ABD , ta có : 

  $\frac{BD}{OM}=\frac{AD}{AM}<=> \frac{BD}{DM}=\frac{AD}{AM}$

<=>  $ \frac{BD}{DM}=\frac{AM+DM}{AM}1+\frac{DM}{AM}$

<=>  $ \frac{BD}{DM}-\frac{DM}{AM}=1$   (đpcm) .