Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B, C là hai tiếp điểm ).

a. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp .

b. Gọi  là trực tâm tam giác ABC , chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi .

c. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn .Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .

d. Cho OB = 3 cm , OA = 5 cm . Tính diện tích tam giác ABC .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  

Ta có :  

$AB\perp OB=> \widehat{OBA}=90^{\circ}$

$AC\perp OC=> \widehat{OCA}=90^{\circ}$

=>  $ \widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^{\circ}$

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp .           (đpcm)

b.  Ta có :  $OB\perp AB;CH\perp AB => OB//CH$      (1)

Tương tự :  OC // BH                                                   (2)

Từ (1),(2)  =>  OBHC là hình bình hành .

Mặt khác : OB = OC 

=>  OBHC là hình thoi .

c.  Vì I là giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn =>  I là điểm chính giữa cung BC.

Ta có : OA là đường phân giác $\widehat{BAC}$         (1)

Mặt khác :  $\widehat{ABI}=\frac{1}{2}\widehat{BI}$

                   $\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{IC}$

Và  $\widehat{BI}=\widehat{IC}$

=>  $\widehat{ABI}=\widehat{IBC}$

=>  BI là đường phân giác $\widehat{ABC}$ (2)

Từ (1) , (2) =>  I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .    (đpcm)

d.  Gọi K là giao điểm của OA và BC

=>  K là trung điểm của BC <=>  KB = KC .

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông AOB , ta có : 

        $OB^{2}+BA^{2}=OA^{2}<=> 3^{2}+BA^{2}=5^{2}$

<=>  AB = 4 .

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABO , ta có :

         $\frac{1}{BK^{2}}=\frac{1}{BA^{2}}+\frac{1}{BO^{2}}=\frac{25}{9.16}$

=>   $BK=\frac{12}{5}$

Ta có :  $AK^{2}=AB^{2}-BK^{2}=\frac{256}{25}$

=>  $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AK.BC=\frac{1}{2}.\frac{16}{5}.\frac{24}{5}=\frac{192}{25}   (cm^{2})$

Vậy  $S_{\triangle ABC}=\frac{192}{25}   (cm^{2})$ .