Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho phương trình : $8x^{2}-8x+m^{2}+1=0  (*)$    ( x là ẩn số )

a.  Định m để (*) có nghiệm $x=\frac{1}{2}$  .

b.  Định m để (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa điều kiện :  $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  $8x^{2}-8x+m^{2}+1=0  (*)$ 

Để  (*) có nghiệm $x=\frac{1}{2}$  <=>  $2-4+m^{2}+1=0<=> m^{2}=1=> m=\pm 1$

Vậy khi $ m=\pm 1$  thì (*) có  nghiệm $x=\frac{1}{2}$  .

b.  Để (*) có 2 nghiệm x1 ; x2 <=>  $\Delta {}'=16-8m^{2}-8=8(1-m^{2})$

+  Khi   $ m=\pm 1$  =>  $\Delta {}'=0<=> x_{1}=x_{2}$

Mà theo giả thiết :  $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$    ( thỏa mãn )

Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là : $\left | m \right |<1<=> -1<m<1$

Khi đó , ta có : $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$  

               <=>   $\left ( x_{1}^{2}-x_{2} ^{2}\right ).\left (  x_{1}^{2}+x_{2} ^{2} \right )=\left ( x_{1}-x_{2} \right ).\left ( x_{1}^{2} +x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}\right )$

               <=>   $\left (x_{1}+x_{2}  \right ).\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )=\left (  x_{1}^{2} +x_{2}^{2}+x_{1}x_{2} \right )$    ( $x_{1}\neq x_{2}$ )

                <=>  $\left ( x_{1}+x_{2} \right )\left [ \left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2x_{1}.x_{2} \right ]=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-x_{1}.x_{2}$   ( 1 )

Áp dụng hệ thức Vi-et : $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} & \\ x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a} & \end{matrix}\right.$

Thay vào (1) <=> $S\left ( S^{2}-2P \right )=S^{2}-P$ <=>  $1\left ( 1^{2}-2P \right )=1^{2}-P$

Để  P = 0 <=>  $m^{2}+1=0$   ( vô nghiệm )

Vậy để (*) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa điều kiện :  $x_{1}^{4}-x_{2}^{4}=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}$  thì  $ m=\pm 1$ .