Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Cho tam giác ABC không có góc tù ( AB < AC )  nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a.  Chứng minh rằng :  $\widehat{MBC}=\widehat{BAC}$ . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.

c.  Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.

d.  Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có :  $\widehat{MBC}=\widehat{BAC}$   ( do cùng chắn cung BC )

Và $\widehat{MIC}=\widehat{BAC}$  ( do AB // MI )

=>   Bốn điểm I ,C, M ,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM (vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông) .

b.  Do $\triangle FBD \sim \triangle FEC $  =>   FB. FC = FE. FD.   (1)

Và $\triangle FBM \sim \triangle FIC $  =>  FB. FC = FI. FM.          (2)

Từ (1) , (2)  =>  FI.FM =FD.FE  .

c.  Ta có : $\widehat{PTQ}=90^{\circ}$  ( do POIQ là đường kính ).

Và $\triangle FIQ \sim \triangle FTM $  => có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau  và  $\frac{FI}{FQ}=\frac{FT}{FM}$  ( vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ )  .

=>  $\widehat{FIQ}=\widehat{FTM}$  

Mặt khác , ta có : $\widehat{FIQ}=\widehat{OIM}=90^{\circ}$   ( do (I nhìn OM dưới góc $90^{\circ}$  ) .

=>   P, T, M thẳng hàng  ( vì $\widehat{PTM}=180^{\circ}$ ) .

d.   Ta có BC không đổi  =>  $S_{IBC}$  lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất.

Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung BC của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì $\triangle ABC$  vuông tại B.

Vậy $S_{IBC}$ lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R).