Lời giải Câu 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải  câu 1 :

Đề bài :

a.  Rút gọn biếu thức  $A=(\sqrt{x-1}-1)^{2}+\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}$   với  $x\geq 1$ .

b.  Giải phương trình   $x+\sqrt{x^{2}+3x+2}=x\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$

c.  Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{matrix}x+y=3+\sqrt{xy} & \\ x^{2}+y^{2}=18 & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.   $A=(\sqrt{x-1}-1)^{2}+\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}$   với  $x\geq 1$ .

Ta có : $(\sqrt{x-1}-1)^{2}=x-2\sqrt{x-1}$

           $\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}=(2\sqrt{x-1}+1)^{2}$

Với $x\geq 1$ <=>  $2\sqrt{x-1}+1> 0$  => $\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}=2\sqrt{x-1}+1$

=>   $A=(\sqrt{x-1}-1)^{2}+\sqrt{4x-3+4\sqrt{x-1}}=x-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1}+1=x+1$ 

Vậy A = x + 1 .

b.   $x+\sqrt{x^{2}+3x+2}=x\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$        (1)

Đk :  $x\geq -1$

(1)  <=>  $x+\sqrt{x+1}.\sqrt{x+2}=x\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}$

      <=>  $(x-\sqrt{x+1}).(1-\sqrt{x+2})=0$

      <=>   Hoặc $x=\sqrt{x+1}$    (*) hoặc  $1=\sqrt{x+2}$    (**)

Từ (**) <=> x = -1 ( thỏa mãn đk )

Từ (*) <=> $\left\{\begin{matrix}x\geq 0 & \\ x^{2}-x-1=0 & \end{matrix}\right.$

         <=>  $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$    ( thảo mãn đk )

Vậy phương trình trên có nghiệm x = -1 ;  $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  .

c.  $\left\{\begin{matrix}x+y=3+\sqrt{xy} & \\ x^{2}+y^{2}=18 & \end{matrix}\right.$               (1)

Đk : $xy\geq 0$

Đặt  $a= x+y; b=\sqrt{xy}   (b\geq 0)$  

(1)  <=>  $\left\{\begin{matrix}a=3+b & \\  a^{2}-2b^{2}=18    (*)& \end{matrix}\right.$

Thế a = 3 + b vào (*) ta được : $(3+b)^{2}-2b^{2}=18$

                                       <=>  $b^{2}-6b+9=0<=> b=3$

Khi  b = 3 => a = b + 3 = 3 + 3 = 6   ( thỏa mãn đk )

=>  (a ; b ) = ( 6; 3 )  

=>  Ta có hệ : $\left\{\begin{matrix}x+y=6 & \\ \sqrt{xy}=3 & \end{matrix}\right.$

            <=>    $\left\{\begin{matrix}x+y=6 & \\ xy=9 & \end{matrix}\right.$

            <=>    $\left\{\begin{matrix}x=3 & \\ y=3 & \end{matrix}\right.$    (thỏa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ( x; y ) = ( 3 ; 3 ) .