Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải  câu 4 :

Đề bài :

Cho hai đường tròn (O;R) và (O' ; R' ) cắt nhau tại A và B ( OO' > R > R' ). Trên nửa mặp phẳng bờ là OO' có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn trên ( với M thuộc (O) và N thuộc (O' ) ).Biết BM cắt (O' ) tại điểm E nằm trong (O) và đường thẳng AB cắt MN tại I.

a.  Chứng minh rằng : $\widehat{MAN}+\widehat{MBN}=180^{\circ}$   và I là trung điểm của MN.

b.  Qua B , kẻ đường thẳng (d) // MN , (d) cắt (O) tại C và (O' ) tại D (với C, D khác B ).Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD và EM.Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACD và các điểm A, B , P , Q cùng thuộc một đường tròn .

c.  Chứng minh tam giác BIP cân .

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có :  $\widehat{IMA}=\widehat{ABM}$  

            $\widehat{MIA}=\widehat{MIB}$

=>  $\widehat{MBN}+\widehat{MAN}=\widehat{ABM}+\widehat{ABN}+\widehat{MAN}=$

 =  $\widehat{IMA}+\widehat{INA}+\widehat{MAN}=180^{\circ}$

=>  $\triangle IMA\sim \triangle IBM$

=>  $IM^{2}=IA.IB$    (*)

Tương tự, ta có :  $IN^{2}=IA.IB$    (**)

Từ (*) , (**)  =>  IM = IN 

=>  I là trung điểm của đoạn MN .  (đpcm)

b.

Xét tứ giác AEBD có :

$\widehat{AME}=\widehat{ACD}$  

$\widehat{AEM}=\widehat{ADC}$  

=>   $\triangle AME\sim \triangle ACD$

=>   $\widehat{AEQ}=\widehat{ADC},\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{DC}=\frac{EQ}{DP}$

=>   $\triangle AEQ\sim \triangle ADP$

=>   $\widehat{AQE}=\widehat{APD}$  

=>   Tứ giác ABPQ nội tiếp đường tròn .

Vậy các điểm A, B , P , Q cùng thuộc một đường tròn .

c.  Gọi K là giao điểm của CM và DN .

Do CDNM là hình thang => I , K , P thẳng hàng .

Ta có : MN // BC => $OM\perp BC$

=>  $\triangle MNC$  cân tại M .

=>  $\widehat{MCB}=\widehat{MBC}$  

Mặt khác , ta lại có :

$\widehat{MCB}=\widehat{KMN}$  

$\widehat{MBC}=\widehat{BMN}$  

=>  $\widehat{KMN}=\widehat{BMN}$  

Tương tự  :  $\widehat{KNM}=\widehat{BNM}$  

=>  $\triangle BMN= \triangle KMN$

=>  $\left\{\begin{matrix}MB=MK & \\ NB=NK & \end{matrix}\right.$

=>  MN là đường trung trực của AB .

=>  $\left\{\begin{matrix}BK\perp CD & \\ IK=IB & \end{matrix}\right.$

=>   $\triangle KBP$  vuông tại B .

=>   I là trung điểm của KP .

=>  IK = IP .

Vậy $\triangle BIP$  cân tại I .