Lời giải Câu 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải  câu 5 :

Đề bài :

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm . Chứng minh :

                                   $\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\geq \sqrt{3}$ 

Hướng dẫn giải chi tiết :

Gọi D , E , F lần lượt là các chân đường cao tương ứng kẻ từ các đỉnh A , B , C .

Đăt  $x=\frac{HA}{BC}$ ;  $y=\frac{HB}{CA}$  ;  $z=\frac{HC}{AB}$

Ta có :  $\triangle BHD\sim \triangle ADC$

=>  $\frac{HB}{AC}=\frac{BD}{AD}$

=>  $x.y=\frac{HA}{BC}.\frac{HB}{AC}=\frac{HA}{BC}.\frac{BD}{AD}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}$

Tương tự , ta có :   $y.z=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}$

                                $z.x=\frac{S_{CHA}}{S_{ABC}}$

=>  xy + yz + zx = $\frac{S_{AHB}+S_{BHC}+S_{CHA}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$

Mà  : $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$

=>    $(x+y+z)^{2}\geq 3$

=>    $x+y+z\geq \sqrt{3}$

Vậy     $\frac{HA}{BC}+\frac{HB}{CA}+\frac{HC}{AB}\geq \sqrt{3}$    (đpcm).