Lời giải Câu 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

Lời giải  câu 1 :

Đề bài :

a. Rút gọn biểu thức : $A=\sqrt{\frac{a+x^{2}}{x}-2\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{a+x^{2}}{x}+2\sqrt{a}}$  với a > 0 ; x > 0 .

b. Tính giá trị biểu thức $P=(x-y)^{2}+3(x-y)(xy+1)$

Biết  $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$

        $y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.    $A=\sqrt{\frac{a+x^{2}}{x}-2\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{a+x^{2}}{x}+2\sqrt{a}}$

<=> $A=\sqrt{\frac{(x-\sqrt{a})^{2}}{x}}+\sqrt{\frac{(x+\sqrt{a})^{2}}{x}}$

<=> $A=\frac{\mid x-\sqrt{a}\mid +x+\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$

+  Với $x\geq \sqrt{a}$ =>  $\mid x-\sqrt{a}\mid =x-\sqrt{a}$

=>  $A=\frac{x-\sqrt{a}+x+\sqrt{a}}{\sqrt{x}}=\frac{2x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$

+  Với $0<x<\sqrt{a}$  => $\mid x-\sqrt{a}\mid =-(x-\sqrt{a})$

=>   $A=\frac{\sqrt{a}-x+x+\sqrt{a}}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$

b.  Ta có : 

+  $x^{3}=(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^{3}$

<=>  $x^{3}=4\sqrt{2}-3x$

<=>  $x^{3}-4\sqrt{2}+3x=0$

<=>  $x^{3}+3x=4\sqrt{2}$   (1)

Tương tự :  $y^{3}+3y=24\sqrt{2}$          (2)

Trừ theo vế (1) cho (2) ta được : $x^{3}-y^{3}+3(x-y)=-20\sqrt{2}$

<=>  $(x-y)^{3}+3(x-y)(xy+1)=-20\sqrt{2}$

Vậy $P=-20\sqrt{2}$ .