Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

Lời giải  câu 2 :

Đề bài :

a.  Giải phương trình :  $x^{2}+6=4\sqrt{x^{3}-2x^{2}+3}$

b.   Giải hệ phương trình :   

    $\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1 & \\ x^{2}-3xy-y^{2} =3& \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.   $x^{2}+6=4\sqrt{x^{3}-2x^{2}+3}$  (1)

Đk :  $x\geq -1$

Từ (1)  <=>  $(x^{2}-3x+3)+3(x+1)$

           <=>   $4\sqrt{(x+1)(x^{2}-3x+3)}$         (2)

Vì  $x^{2}-3x+3> 0$  , (2) <=> $1+\frac{3(x+1)}{x^{2}-3x+3}=4\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}$              (*)

Đặt  $t=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}$     ( $t\geq 0$ )

(*) <=>  $1+3t^{2}=4t$

    <=>  $3t^{2}-4t+1=0$

    <=>  Hoặc t = 1 hoặc  $t=\frac{1}{3}$  (thỏa mãn )

+  Với t = 1 <=>  $\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}=1$  

<=>  $x^{2}-4x+2=0<=> x=2\pm \sqrt{2}$

+  Với $t=\frac{1}{3}$  <=> $\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}-3x+3}}=\frac{1}{3} $

<=>  $x^{2}-12x-6=0<=> x= 6\pm \sqrt{42}$

Vậy phương trình có nghiệm : $x=2\pm \sqrt{2}$ ; $x= 6\pm \sqrt{42}$ .

b.    $\left\{\begin{matrix}(x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^{2}+1})=1   (1) & \\ x^{2}-3xy-y^{2} =3  (2)& \end{matrix}\right.$

Từ (1) <=> $(x+\sqrt{x^{2}+2x+2}+1)(\sqrt{y^{2}+1)}+y)(\sqrt{y^{2}+1}-y)=(\sqrt{y^{2}+1}-y)$

Vì $\sqrt{y^{2}+1}-y\neq 0(\forall y)$

<=>  $x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+1}=-y+\sqrt{y^{2}+1}$

<=>  $x+y+1+\frac{(x+1)^{2}-y^{2}}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0$

<=>  $(x+y+1)(1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}})=0$

<=>  Hoặc x + y + 1 = 0    (*) hoặc $1+\frac{x+1-y}{\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}}=0$    (**)

Do $\sqrt{(x+1)^{2}+1}> \mid x+1\mid \geq x+1( \forall x)$  

      $\sqrt{y^{2}+1}> \mid y\mid \geq -y (\forall y)$

=>  (**) vô nghiệm .

Từ (*) <=> y = -x - 1 thay vào (2) ta được : x = 1 hoặc  $x=\frac{-4}{3}$

+  Với x = 1 =>  y = -2.

+  Với $x=\frac{-4}{3}$  =>  $y=\frac{1}{3}$ .

Vậy  hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) = (1; -2 ) và (x; y )= ($\frac{-4}{3};\frac{1}{3}$).