Lời giải Câu 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi

Lời giải  câu 3 :

Đề bài :

a. Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết : $M=n.4^{n}+3^{n}$  chia hết cho 7 .

b. Tìm các cặp số ( x; y ) nguyên dương thỏa mãn : $(x^{2}+4y^{2}+28)^{2}-17(x^{4}+y^{4})=238y^{2}+833$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  

+  Với n = 2k  ( k - nguyên dương )

=> $M=2k.4^{2k}+3^{2k}=2k.16^{k}+9^{k}$

Ta có :  $16^{k}$  và $9^{k}$ cùng dư với $2^{k}$ khi chia 7.

=>  M cùng dư với $2k.2^{k}+2^{k}=2^{k}(2k+1)$ chia 7 

=> ( 2k + 1 ) chia hết cho 7.

=> k chia 7 dư 3 <=> k = 7q + 3

=> n = 14q + 6 ( $q\in N$ ) .

+  Với n = 2k + 1   ( k - nguyên dương )

=>  $M=(2k+1).4^{2k+1}+3^{2k+1}$

<=>  $4.(2k+1).16^{k}+3.9^{k}$

=> M cùng dư với $(k+4).2^{k}+3.2^{k}=(k+7).2^{k}$ chia cho 7.

=>  k chia hết cho 7 => k = 7p.  ( $p\in N$ ) 

Vậy  n = 14p + 1  hoặc n = 14q + 6   ( $p,q\in N$ ) .