Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải  câu 4 :

Đề bài :

Cho phương trình :      $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})+m =0$    ( m là tham số )

a.  Khi m = -2 , giải phương trình đã cho .

b.  Tìm các giá trị m để phương trình đã cho có nghiệm .

Hướng dẫn giải chi tiết :

            $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})+m =0$       (*)

a.   Khi m = -2 thay vào (*)  ta có :  

            $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})-2 =0$      (**)        ( Đk : $x\neq 0$ )

Đặt  $t=x-\frac{1}{x}=> t^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$

(**) <=>  $t^{2}+2+t-2=0<=> t^{2}+t=0$

     <=>   $\left\{\begin{matrix}t=0 & \\ t=-1 & \end{matrix}\right.$   

+ Với t = 0 <=> $x-\frac{1}{x}=0<=> x^{2}-1=0$

=>  Hoặc x = 1 hoặc x = -1 .

+  Với t = -1 <=> $x-\frac{1}{x}=-1<=> x^{2}+x-1=0$

Ta có : $\Delta =1^{2}-4.1.(-1)=5=> \sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

              $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} , x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Áp dụng  Đk : $x\neq 0$  , các nghiệm đều thoản mãn.

Vậy phương trình có tập nghiệm : $\begin{Bmatrix}1;-1;\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{Bmatrix}$ .

b.     $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x-\frac{1}{x})+m =0$       (1)     ( Đk : $x\neq 0$ )

Đặt  $t=x-\frac{1}{x}=> t^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$

(1) <=>  $t^{2}+t+m+2=0        (2)$

Để (2) có hai nghiệm phân biệt <=>  $\Delta \geq 0<=> 1-4(m+2)\geq 0<=> m\leq \frac{-7}{4}$ .

Với mỗi giá trị của t là nghiệm của (1) nên ta có :

                    $x-\frac{1}{x}=t<=> x^{2}-tx-1=0$           (3)

Nhận xét : Ta thấy  phương trình (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ do a và c trái dấu.

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm <=>  $m\leq \frac{-7}{4}$ .