I. ĐỊNH NGHĨA 

HĐ1

Tứ giác ABCD ở Hình 35 có các cặp cạnh đối AB // CD, AD // BC.

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.

Ví dụ 1: (SGK – tr.105)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.105)

II. TÍNH CHẤT

HĐ2

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD; AD // BC.

=> $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ và $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ (so le trong).

Xét ∆ABD và ∆CDB có:

$\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$; $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ ; BD chung

=> ∆ABD = ∆CDB (g.c.g)

=> AB = CD và DA = BC

b) ∆ABD = ∆CDB => $\widehat{DAB}=\widehat{BCD}$

Tương tự ta có: ∆ABC = ∆CDA (g.c.g)

=> $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}$

c) Xét ∆OAB và ∆OCD có:

$\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$; $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$;AB=CD 

=> ∆OAB = ∆OCD (g.c.g)

=> OA = OC và OB = OD.

Định lí: Trong một hình bình hành:

• Các cạnh đối bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 2: (SGK – tr.106)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106)

Luyện tập 1

Do ABCD là hình bình hành nên:

CD = AB = 4 cm ; AD = BC = 5 cm

$\widehat{C}$ là góc đối của $\widehat{A}$ => $\widehat{C}$ = $\widehat{A}$ = $80^{\circ}$

$\widehat{D} = 180^{\circ} - \widehat{A} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$

$\widehat{B}$ là góc đối của $\widehat{D}$ => $\widehat{B}$ = $\widehat{D}$ = $100^{\circ}$

III. TÍNH CHẤT 

HĐ3

a) Xét ∆ABC và ∆CDA có:

AB = CD (gt); BC = DA (gt); AC chung

=> ∆ABC = ∆CDA (c.c.c)

=> $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ và $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$

Ta có: 

$\widehat{BAC};\widehat{DCA}$ ở vị trí so le trong => AB//CD

$\widehat{ACB};\widehat{CAD}$ ở vị trí so le trong => AD//BC

Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC nên là hình bình hành.

b) 

Xét 2 tam giác ABO và CDO có: 

• AO = CO (O là trung điểm của AC)
• BO = DO (O là trung điểm của BD)
• $\widehat{AOB}$= $\widehat{COD}$ (2 góc đối nhau)

=> ∆ABO = ∆CDO (c.g.c)

=> Các cặp góc tương ứng:

$\widehat{BAO}$ = $\widehat{DCO}$ hay $\widehat{BAC}$ = $\widehat{DCA}$ => AB // DC

$\widehat{OCB}$ = $\widehat{OAD}$ hay $\widehat{ACB}$ = $\widehat{CAD}$ => AD // BC

Vậy tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành.

Dấu hiệu nhận biết

• Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Ví dụ 3: (SGK – tr.107)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.107)

Luyện tập 2

Xét ∆OAD và ∆OCB có:

$\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ (gt); OA=OC (gt); $\widehat{AOD}=\widehat{COB}$ (đối đỉnh).

=> ∆OAD = ∆OCB (g.c.g)

=> OD = OB

Xét tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường => ABCD là hình bình hành.

Chú ý

• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành.