Lời giải Bài 2 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 2:

Đề ra : 

a.  Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y )  thỏa mãn :  $2y ^{2}+ 2xy + x + 3y – 13 = 0.$

b.  Giải phương trình :  $2\sqrt[4]{\frac{x^{2}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3x}{2}}$

Lời giải chi tiết :

a.  Ta có : $2y ^{2}+ 2xy + x + 3y – 13 = 0.$

<=>  $(2y+1)(x+y+1)=14$

=>   2y + 1 và x + y + 1 là các ước của 14.

Vì 2y + 1 là số lẻ nên ta có các trường hợp sau:

+  TH 1:  2y + 1 = 1 và  x + y + 1 = 14   =>  (x, y) = (13, 0) .

+  TH 2:  2y + 1 = -1 và  x + y + 1 = - 14   =>  (x, y) = (-14, -1) .

+  TH 3:  2y + 1 = 7 và  x + y + 1 = 2   =>   (x, y) = (-2, 3) .

+  TH 4:  2y + 1 = - 7 và  x + y + 1 = - 2   =>  (x, y) = (1, - 4) .

Vậy có 4 cặp giá trị ( x ; y ) như trên thỏa mãn :  $2y ^{2}+ 2xy + x + 3y – 13 = 0.$

b.    $2\sqrt[4]{\frac{x^{2}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3x}{2}}$                 (1)

Đk  : $x\geq 0$

(1) <=>  $(2\sqrt[4]{\frac{x^{2}}{3}+4})^{2}=(1+\sqrt{\frac{3x}{2}})^{2}$ 

<=>  $4\sqrt{\frac{x^{2}}{3}+4}=1+\frac{3x}{2}+\sqrt{6x}$

Mà :  $\sqrt{6x}\leq \frac{x+6}{2}=> 4\sqrt{\frac{x^{2}}{3}+4}\leq 2x+4 $

<=>  $4x^{2}+48\leq 3x^{2}+12x+12$

<=>   $(x-6)^{2}\leq 0=>  x = 6$

Thử lại : x = 6 ( t/mãn ) .

Vậy phương trình trên có nghiệm x = 6 .