Lời giải Bài 3 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 3:

Đề ra : 

Cho x , y là các số thực không âm.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :    $P=\frac{(x^{2}-y^{2})(1-x^{2}y^{2})}{(1+x^{2})^{2}(1+y^{2})^{2}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có :  $\frac{(a+b)^{2}}{4}\geq ab,\forall a,b$     (*)

Dấu " = " xảy ra  <=>  a = b  .

Đặt   $\frac{x^{2}+y^{2}}{(1+x^{2})(1+y^{2})}=a$

          $\frac{1-x^{2}y^{2}}{(1+x^{2})(1+y^{2})}=b$

Từ (1) =>  $P=ab\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}$

=>  $P\leq \frac{1}{4}\left [ \frac{x^{2}-y^{2}+1-x^{2}y^{2}}{(1+x^{2})(1+y^{2})} \right ]^{2}$

<=>  $P\leq \frac{1}{4}\left [ \frac{(x^{2}+1)(1-y^{2})}{(1+x^{2})(1+y^{2})} \right ]^{2}$

<=>   $P\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1-y^{2}}{1+y^{2}} \right )^{2}$

Mà : $0\leq \left ( \frac{1-y^{2}}{1+y^{2}} \right )^{2}\leq 1,\forall y$

=>  $P_{max}=\frac{1}{4}$

Vậy  $P_{max}=\frac{1}{4}$ .

Dấu " = " xảy ra <=>  $\left\{\begin{matrix}a=b & \\ (1-y^{2})^{2}=(1+y^{2})^{2} & \end{matrix}\right.$  <=> $\left\{\begin{matrix}x=1& \\ y=0& \end{matrix}\right.$ .