Lời giải Bài 5 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 5:

Đề ra : 

Cho 1010 số tự nhiên phân biệt không vượt quá 2015 trong đó không có số nào gấp 2 lần số khác. Chứng minh rằng trong các số được chọn luôn tìm được 3 số sao cho tổng của 2 số bằng số còn lại.

Lời giải chi tiết :

Giả sử  $0\leq a_{1}<a_{2}< ...< a_{1010}\leq 2015$  là 1010 số tự nhiên được chọn .

Xét 1009 số : $b_{i}=a_{1010}-a_{i}  ( i=1,2,...,1009)$

=>  $0<b_{1009}<b_{1008}<...<b_{1}\leq 2015$

Theo nguyên lý Dirichlet trong 2019 số  $a_{i},b_{i}$ không vượt quá 2015 luôn tồn tại 2 số bằng nhau, mà các số  $a_{i},b_{i}$  không thể bằng nhau

=>  Tồn tại i , j  sao cho  :  $a_{j}=b_{i}$

=>  $a_{j}=a_{1010}-a_{i}=> a_{1010}=a_{i}+a_{j}$     ( đpcm ) .