Lời giải Bài 4 Đề thi thử trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 4:

Đề ra : 

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD ( C, D là tiếp điểm, $C\in (O);D\in (O')$ ). Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O’) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và BC với EF. Gọi I là giao điểm của EC với FD. Chứng minh rằng:

a.  Chứng minh rằng tứ giác BCID nội tiếp.

b.  CD là trung trực của đoạn thẳng AI.

c.  IA là phân giác góc MIN.

Lời giải chi tiết :

a.

TH1: Điểm A và đoạn thẳng CD nằm về cùng một phía với đường OO’.

Ta có : 

• $\widehat{ABC}=\widehat{AEC}=\widehat{ICD}$
• $\widehat{BDC}=\widehat{AED}=\widehat{IDC}$

=>  $\widehat{DBA}+\widehat{DIC}=\widehat{ABC}+\widehat{DBC}+\widehat{DIC}=\widehat{ICD}+\widehat{IDC}+\widehat{DIC}=180^{\circ}$

=>   Tứ giác BCID nội tiếp.

TH 2 :  Điểm A và đoạn thẳng CD nằm khác phía nhau so với OO’.

Vì tứ giác ABCE nội tiếp (O) nên  $\widehat{BCE}+\widehat{BAE}=180^{\circ}$

=>  $\widehat{BCE}+\widehat{BAF}$

Tương tự :  $\widehat{BDI}+\widehat{BAF}$

=>  $\widehat{BDI}+\widehat{BCE}$

=>  $\widehat{BDI}+\widehat{BCI}=\widehat{BCE}+\widehat{BCI}=180^{\circ}$

=>   Tứ giác BCID nội tiếp.

b.   Ta có : $\widehat{ICD}=\widehat{CEA}=\widehat{DCA}$

=>  $\widehat{ICD}=\widehat{DCA}$

Tương tự : $\widehat{IDC}=\widehat{CDA}$

=>   $\triangle ICD =\triangle ACD $

=>  CA = CI  và  DA = DI .

=>   CD là trung trực của AI  .   ( đpcm )

c.   Ta có : $CD\perp AI=>AI\perp MN$         (1)

Gọi $K=AB\cap CD$

=>  $CK^{2}=KA.KB=KD^{2}$

=>  KC = KD .              (*)

Vì  CD // MN =>  $\frac{KC}{AN}=\frac{KD}{AM}=\frac{KB}{AB}$

Từ (*) => AN = AM .                                      (2)

Từ (1) ,(2)  =>  $\triangle IMN$  cân tại I .

=>  IA là phân giác góc MIN.         ( đpcm )