Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Lời giải  bài 1 :

Đề bài :

a.  Cho x , y là 2 số thực khác 0 . Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$    (1)

b.  Cho a , b là 2 số dương .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Từ (1) <=>  $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\geq 0$

<=>  $\frac{x^{4}+y^{4}-x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}y^{2}}\geq 0$

<=>  $\frac{(x-y)(x^{3}-y^{3})}{x^{2}y^{2}}\geq 0$

<=>  $\frac{(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})}{x^{2}y^{2}}\geq 0$

<=>  $\frac{(x-y)^{2}\left [ (x+\frac{1}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}y^{2} \right ]}{x^{2}y^{2}}\geq 0$   ( luôn đúng  $\forall x,y\neq 0$ )

Vậy  $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$  .

b.  Ta có :   $P=\frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$ = $\frac{(a+b)^{2}+ab}{\sqrt{ab}(a+b)}$

<=>  $P=\frac{\frac{1}{4}(a+b)^{2}+ab+\frac{3}{4}(a+b)^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$

<=>  $P=\frac{\frac{1}{4}(a+b)^{2}+ab}{\sqrt{ab}(a+b)}+\frac{\frac{3}{4}(a+b)^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$   (*)

Ta thấy : (*) $\geq \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^{2}.ab}}{\sqrt{ab}(a+b)}+\frac{\frac{3}{4}.2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu " = "  xảy ra <=>  $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}(a+b)^{2}=ab & \\ a=b & \end{matrix}\right .<=> a = b$

Vậy Min P = $\frac{5}{2}$  <=> a = b .