1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(x+2y)^{3}$

b) $(3y-1)^{3}$

Giải:

a) $(x+2y)^{3}=x^{3}+3.x^{2}.2y+3.x(2y)^{2}+(2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}$

b) $(3y-1)^{3}=(3y)^{2}-3.(3y)^{2}.1+3.3y.12-1=27y^{3}-27y^{2}+9y-1$

Câu 2: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(2x-3)^{3}$

b) $(a+3b)^{3}$

c) $(xy-1)^{3}$

Giải:

a) $(2x-3)^{3}=(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.3+3.2x.3^{2}-3^{3}=8x^{3}-36x^{2}+54x-27$

b) $(a+3b)^{3}=a^{3}+3.a^{2}.(3b)+3.a.(3b)^{2}+(3b)^{3}=a^{3}+9a^{2}b+27ab^{2}+27b^{3}$

c) $(xy-1)^{3}=(xy)^{3}-3.(xy)^{2}.1+3.xy.1^{2}-1^{3}=x^{3}y^{3}-3x^{2}y^{2}+3xy-1$

Câu 3: Tính:

a) $(3+x)^{3}$

b) $(a+2b)^{3}$

c) $(2x-y)^{3}$

Giải:

a) $(3+x)^{3}=3^{3}+3.3^{2}x+3.3.x^{2}+x^{3}=x^{3}+9x^{2}+27x+27$

b) $(a+2b)^{3}=a^{3}+3.a^{2}.2b+3.a.(2b)^{2}+(2b)^{3}=a^{3}+6a^{2}b+12ab^{2}+8b^{3}$

c) $(2x-y)^{3}=(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.y+3.2x.y^{2}-b^{3}$

Câu 4: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: 

$8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}$

Giải:

 $8x^{3}-36x^{2}y+54xy^{2}-27y^{3}=(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.3y+3.2x.(3y)^{2}-(3y)^{3}=(2x-3y)^{3}$

Câu 5. Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu

a) $a^{3}+12a^{2}+48a+64$

b) $27x^{3}+54x^{2}y+36xy^{2}+8y^{3}$

c) $x^{3}-9x^{2}y+27x-27$

d) $8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}$

Giải:

a) $a^{3}+12a^{2}+48a+64$

$=a^{3}+3.a^{2}.4+3.a.4^{2}+4^{3}$

$=(a+4)^{3}$

b) $27x^{3}+54x^{2}y+36xy^{2}+8y^{3}$

$=(3x)^{3}+3.(3x)^{2}.2yA+3.3x.(2y)^{2}+(2y)^{3}$

$=(3x+2y)^{3}$

c) $x^{3}-9x^{2}y+27x-27$

$=x^{3}-3.x^{2}.3+3.x.3^{2}+3^{3}$

$(x-3)^{3}$

d) $8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}$

$=(2a)^{3}-3.(2a)^{2}b+3.2a.b^{2}-b^{3}$

$=(2a-b)^{3}$

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1. Tính nhanh: $101^{3}-3.101^{2}+3.101-1$

Giải:

$101^{3}-3.101^{2}+3.101-1$

$=101^{3}-3.101^{2}.1+3.101.1^{2}-1^{3}$

$=(101-1)^{3}=100^{3}$

=1000000

Câu 2. Tính giá trị biều thức:

a) $A=15x^{5}y^{3}:10xy^{2}$ tại x=-3 và $y=\frac{2}{3}$ ;

b) $B=-(x^{3}y^{5}z^{2}):(-x^{2}y^{3}z)^{3}$ tại x=1, y=-1 và z=100.

c) $C=\frac{3}{4}(x-2)^{3}:-\frac{1}{2}(2-x)$ tại x=3;

d) $D=(x-y+z)^{5}:(-x+y-z)^{3}$ tại x=17, y=16 và z=1.

Giải:

a) $A=\frac{3}{2}x^{4}y$ Thay $x=-3;y=\frac{2}{3}$ vào A ta tìm được A=81.

b) B=yz Thay x=1, y=-1, z=100 vào B ta được B=-100

c) $C=\frac{3}{2}(x-2)^{2}$ thay x=3 tính được $C=\frac{3}{2}$.

d) $D=-(x-y+z)^{2}$ thay x=17, y=16, z=1 tính được D=-4.

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức:

a) $A=x^{3}+6x^{2}+12x+12$ tại x = 8

b) $B=x^{3}+3x^{2}+3x+6$ với x=19

C) $C=x^{3}-3x^{2}+3x$ với x=11

Giải:

a) 

$A=x^{3}+6x^{2}+12x+12$

$=x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.22+2^{3}+4$

$=(x+2)^{3}+4$

Tại x = 8 thì $B=(x+2)^{3}+4=(8+2)^{3}+4=1004$

b) B= 8005

c) C = 1001

Câu 4: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 

$D=(x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)$
Giải:

$D=(x+2)^{3}-(x-2)^{3}-12(x^{2}+1)$

$=(x^{3}+3.x^{2}.2+3.x.2^{2}+2^{3})-(x^{3}-3.x^{2}.2+3.x.2^{2}-2^{3})-12x^{2}-12$

$=x^{3}+6x^{2}+12.x+2^{3}-x^{3}+6x^{2}-12x+8-12x^{2}-12=-4$

Giá trị của biểu thức D luôn luôn bằng -4 với mọi x

Câu 5: Tính nhanh: $(0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24$

Giải:

$(0,76)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,76.0,24$

$=(1-0,24)^{3}+(0,24)^{3}+3.(1-0,24).0,24$

$=1-3.1.0,24+3.1.0,242-(0,24)^{3}+(0,24)^{3}+3.0,24-3.(0,24)^{2}$

=1

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Một thùng chứa dạng hình lập phương có độ dài cạnh bằng x (cm). Phần vỏ bao gồm nắp có độ dày 3 cm. Tính dung tích (sức chứa) của thùng, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Giải: 

Dung tích (sức chứa) của thùng là $(x-3)^{3}=x^{3}-9x^{2}+27x-27$

Câu 2: 

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức

Giải:

a) $(2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$

b) $(3x-2)^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8$

Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm. Thể tích của hình hộp chữ nhật sẽ tăng bao nhiêu nếu chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm?

Giải:

Thể tích hình hộp chữ nhật ban đầu là:  $5^{3}=125 (cm^{3})$

Thể tích hình hộp chữ nhật khi chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm là:  $(5+a)^{3}=125+75a+15a^{2}+a^{3}(cm^{2})$

Khi đó thể tích hình chữ nhật sẽ tăng thêm 

$125+75a+15a^{2}+a^{3}-125=75a+15a^{2}+a^{3}(cm^{3})$

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức:

a) $A=27x^{3}-54x^{2}y+36xy^{2}-8y^{3}$ tại x = 4; y = 6

b) $B=\left ( \frac{x}{2}-y \right )^{3}-6\left ( y-\frac{x}{2} \right )^{2}+12\left ( y-\frac{x}2{} \right )-8$ tại x = 206; y =1

Giải:

a)

$A=27x^{3}-54x^{2}y+36xy^{2}-8y^{3}$

$=(3x)^{3}-3.(3x)^{2}.2y+3.(3x).(2y)^{2}-(2y)^{3}$

$=(3x-2y)^{3}$

Tại x = 4; y = 6 $\Rightarrow A=(3.4-2.6)^{3}=0$

b)

$B=\left ( \frac{x}{2}-y \right )^{3}-6\left ( y-\frac{x}{2} \right )^{2}+12\left ( y-\frac{x}2{} \right )-8$

$\left ( \frac{x}{2}-y \right )^{3}-3.\left ( \frac{x}{2}-y \right )^{2}.2+3\left ( \frac{x}{2} -y\right ).2^{2}-2^{3}$

$\left [ \left ( \frac{x}{2} -y\right )-2 \right ]^{3}$

Tại x = 206; y =1 $\Rightarrow B=1000000$

Câu 5. Tính nhanh:

a) $101^{3}$

b) $91^{3}+3.91^{2}.9+3.91.9^{2}+9^{3}$

c) $18^{3}-3.18^{2}.8+3.18.8^{2}-2$

Giải:

a) $101^{3}$

$=(100+1)^{3}$

=1030301

b) $91^{3}+3.91^{2}.9+3.91.9^{2}+9^{3}$

$=(91+9)^{3}$

$=100^{3}$

=1000000

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1. Chứng minh đẳng thức sau đúng: $(a+b)^{3}-(a-b)^{3}=2b(3a^{2}+b^{2})$

Giải: 

Ta có: $VT=(a+b)^{3}-(a-b)^{3}$

$=(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})-(a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})$

$=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}-a^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}+b^{3})$

$=6a^{2}b+2b^{3}$

$=2b(3a^{2}+b^{2})=VP$(đpcm)

Kết luận, vậy : $(a+b)^{3}-(a-b)^{3}=2b(3a^{2}+b^{2})$

Câu 2. Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có:

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Giải:

Đặt a+b=A,B=c
Ta có: $VT=(a+b+c)^{3}=(A+B)^{3}=A^{3}+B+3A^{2}B+3AB^{2}$

Thay vào ta được:

$(A+B)^{3}=A^{3}+B+3A^{2}B+3AB^{2}$

$=(a+b)^{3}+c^{3}+3(a+b)^{2}c+3(a+b)c^{2}$

$=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+3(a+b)^{2}.c+3(a+b)c^{2}$

$=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)\left [ ab+(a+b)c+c^{2} \right ]$

$=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(ab+ac+bc+c^{2})$

$=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)\left [ a(b+c)+c(b+c) \right ]$

$=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)=VP$(đpcm)