1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Nhận biết cấp số nhân...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là:

$u_{1}=3\cdot 2^{1}$; $u_{2}=12$; $u_{3}=24$; $u_{4}=48$; $u_{5}=96$;

b) Ta có: $u_{n-1}=3\cdot 2^{1}=3\cdot \frac{2^{n}}{2^{1}}=\frac{3\cdot 2^{n}}{2}=\frac{u_{n}}{2}$;

=> Hệ thức truy hồi liên hệ giữa $u_{n}$ và $u_{n-1}$ là: $u_{n}=2u_{n-1}$

Bài 2: Dãy số không đổi...

Đáp án:

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Bài 3: Cho dãy số $(u_{n})$ với...

Đáp án:

$\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{2\cdot 5^{n}}{2\cdot 5^{n-1}}=\frac{5^{n}}{\frac{5^{n}}{5}}=5$ $\forall n\geq 2$

Tức là $u_{5}=5u_{n-1}$ $\forall n\geq 2$

Vậy $(u_{n})$  là một cấp số nhân với $u_{1}=2\cdot 5^{1}$ và công bội q = 5

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{2}=u_{1}\cdot q$;

$u_{3}=u_{2}\cdot q=(u_{1}\cdot q)q=u_{1}\cdot q^{2}$;

$u_{4}=u_{3}\cdot q=u_{1}\cdot q^{3}$;

$u_{5}=u_{4}\cdot q=u_{1}\cdot q^{4}$.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo $u_{1}$ và q là $u_{1}\cdot q^{n-1}$ với $n\geq 2$.

Bài 2: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn...

Đáp án:

Số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=5000$ và công bội q = 1,08 và $u_{6}$ là số lượng vi khuẩn sau 5 giờ nuôi cấy.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là:

$u_{6}=u_{1}\cdot q^{6-1}=5000\cdot 1,085\approx 7374$ (con)

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân...

Đáp án:

a) Ta có: $u_{2}=u_{1}\cdot q$;

$u_{n-1}=u_{1}\cdot q^{n-1-1}=u_{1}\cdot q^{n-2}$;

$u_{n}=u_{1}\cdot q^{n-1}$.

Do đó, $S_{n}=u_{1}+u_{1}\cdot q+…+u_{1}\cdot q^{n-2}+u_{1}\cdot q^{n-1}$.

b) Ta có: $q\cdot S_{n}=q\cdot (u_{1}+u_{1}\cdot q+…+u_{1}\cdot q^{n-2}+u_{1}\cdot q^{n-1})$.

 $\Leftrightarrow q\cdot S_{n}=u_{1}\cdot q+u_{1}\cdot q^{2}+...+u_{1}\cdot q^{n-1}+u_{1}\cdot q^{n}$.

c) $S_{n}-q\cdot S_{n}=u_{1}+u_{1}\cdot q+...+u_{1}\cdot q^{n-2}+u_{1}\cdot q^{n-1}-(u_{1}\cdot q+u_{1}\cdot q^{2}+...+u_{1}\cdot q^{n-1}+u_{1}\cdot q^{n})$

$\Leftrightarrow (1-q)S_{n}=u_{1}-u_{1}\cdot q^{n}$

$\Leftrightarrow (1-q)S_{n}=u_{1}(1-q^{n})$

$S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$ với $q\neq 1$

Bài 2: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1...

Đáp án:

Nếu cấp số nhân có công bội q=1 thì cấp số nhân là $u_{1},u_{1},…,u_{1},…$

Khi đó $S_{n}=u_{1}+u_{1}+…+u_{1}=n\cdot u_{1}$ (tổng n số hạng của $u_{1}$)

Bài 3: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào...

Đáp án:

Ta có: 3 năm = 12 quý 

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: $5\cdot 3 = 15$ (triệu đồng).

Từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng trong mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=15$ và công sai d=1,5. 

Sau 3 năm làm việc, lương của người nông dân là:

$S_{12}=\frac{12}{2}[2u_{1}+(12-1)d]=62.15+11.1,5=279$ (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3=15 (triệu đồng).

Lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó. Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u^{'}_{1}=15$ và công bội q=1,05. 

Sau 3 năm làm việc, lương của người nông dân là:

$S^{'}_{12}=\frac{u_{1}(1-q^{12})}{1-q}=\frac{15(1-1,05^{12})}{1-1,05}\approx 238,76 $ (triệu đồng).

Vậy theo phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.15: Xác định công bội, số hạng thứ 5...

Đáp án:

a) Cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội là q =4.

Số hạng thứ 5 là $u_{5}=u_{1}\cdot q^{5-1}=1\cdot 4^{4}=256$.

Số hạng thứ 100 là $u_{100}=4^{100-1}=4^{99}$.

b) Cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công bội là: q=-14.

Số hạng thứ 5 là $u_{5}=u_{1}\cdot q^{5-1}=2\cdot \frac{-1}{4}^{4}=\frac{1}{128}$

Số hạng thứ 100 là $u_{100}=2\cdot \frac{-1}{4}^{100-1}=2\cdot \frac{(-1)^{99}}{4^{99}}=\frac{1}{2^{197}}$

Bài tập 2.16: Viết năm số hạng đầu của dãy số...

Đáp án:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 

$u_{1}=5\cdot 1=5$; $u_{2}=10$; $u_{3}=15$; $u_{4}=20$; $u_{5}=25$;

Với $n\geq 2$ ta có $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{5n}{5(n-1)}=\frac{n}{n-1}=\frac{n-1=1}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}$ luôn thay đổi.

Do đó, dãy số $(u_{n})$  không là cấp số nhân.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 

$u_{1}=5^{1}=5$; $u_{2}=25$; $u_{3}=125$; $u_{4}=625$; $u_{5}=3125$;

Với $n\geq 2$ ta có $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{5^{n}}{5^{n-1}}=\frac{5^{n-1}\cdot 5}{5^{n-1}}=5$

Tức là $u_{n}=5u_{n-1}$ $\forall n\geq 2$

Do đó, $(u_{n})$  là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}= 5$, công bội q = 5 

c) Năm số hạng đầu của dãy số là: 

$u_{1}=1$; $u_{2}=2u_{1}=2$; $u_{3}=6$; $u_{4}=24$; $u_{5}=120$;

Ta có: $u_{n}=n\cdot u_{n-1}$ => $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=n$ luôn thay đổi với $\forall n\geq 2$

Vậy dãy số $(u_{n})$  không là cấp số nhân.

d) Năm số hạng đầu của dãy số là:  

$u_{1}=1$; $u_{2}=5u_{1}=5$; $u_{3}=25$; $u_{4}=125$; $u_{5}=625$;

Ta có: $u_{n}=5u_{n-1}$ => $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5$ $\forall n\geq 2$

Vậy dãy số $(u_{n})$  là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=1$ công bội q=5 

Bài tập 2.17: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng...

Đáp án:

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q. Ta có:

$u_{6}=u_{1}\cdot q^{6-1}=u_{1}\cdot q^{5}=96$ và $u_{3}=u_{1}\cdot q^{3-1}=u_{1}\cdot q^{2}=12$.

Do đó, $\frac{u_{6}}{u_{3}}=\frac{u_{1}\cdot q^{5}}{u_{1}\cdot q^{2}}=q^{3}=\frac{96}{12}=8$ => q=2

=> $u_{1}\cdot q^{2}=12$

$\Leftrightarrow u_{1}\cdot 2^{2}=12$

=> $u_{1}=3$

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân là: $u_{50}=u_{1}\cdot q^{50-1}=3 \cdot 2^{49}$.

Bài tập 2.18: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2...

Đáp án:

Cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}=1=5$và công bội q=2.

Ta có: $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{5(1-2^{n}}{1-2}=-5(1-2^{n}=5115$.

⟺ $1-2^{n}=-1023$

⟺ $2^{n}=1024$

⟺ $n=10$

Vậy ta phải lấy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Bài tập 2.19: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng...

Đáp án:

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q=0,8.

Vậy sau 5 năm sử dụng giá trị của chiếc máy ủi là

$u_{5}=u_{1}\cdot q^{5-1}=3\cdot 0,8^{4}$ (tỉ đồng) =1 228 800 000 (đồng).

Bài tập 2.20: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng...

Đáp án:

Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=97$ và công bội q=1,0091.

Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 chính là dân số của quốc gia sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

$u_{11}=u_{1}\cdot q^{11-1}=97\cdot 1,0091^{10}\approx 106,2$ (triệu người)

Bài tập 2.21: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần...

Đáp án:

Lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau mỗi ngày dùng thuốc lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=50$ và công bội $q=\frac{1}{2}$

Tổng lượng thuốc trong máu sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp là:

$S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{10})}{1-q}=\frac{50(1-\frac{1}{2}^{10})}{1-\frac{1}{2}}=\frac{25575}{256}=99,902$ (mg)