1. CÔNG THỨC CỘNG

Bài 1: Nhận biết công thức cộng...

Đáp án:

a) Ta có: $VT = a-b=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}

cos(a-b)=cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$VP=cosa.cosb=sina.sinb =cos\frac{\pi}{3}.cos\frac{\pi}{6}+ sin\frac{\pi}{3}.sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy VT = VP hay cos(a – b)=cos a cos b+sin a sin b.

b) cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b) 

= cos a cos b – sin a sin b. 

c) Ta có: 

$cos[\frac{\pi}{2}-(a-b)]=cos[(\frac{\pi}{2}-a)+b]=cos(\frac{\pi}{2}-a).cosb-sin(\frac{\pi}{2}-a).sinb=sin a .cos b-cos a.sin b$  

(do $coscos(\frac{\pi}{2}-a)=sinsina; sinsin(\frac{\pi}{2}-a)=cosa$ ). 

Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

Bài 2: Chứng minh rằng...

Đáp án:

a) $\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(sinxcos\frac{\pi}{4})-cosxsin\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}sinsinx.\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}coscosx.\frac{\sqrt{2}}{2}=sinsinx-coscosx$

b) $tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{tan\frac{\pi}{4}-tanx}{1+tan\frac{\pi}{4}tanx}=\frac{1-tanx}{1+tanx}$ (do $tan\frac{\pi}{4}=1$)

Bài 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu...

Đáp án:

Ta có: $f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)=5sin t +5cos t =5(sin t +cos t )=5\sqrt{2}sin(t+\frac{\pi}{4})$

=> $k=5\sqrt{2}$ và $\varphi =\frac{\pi}{4}$.

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Bài 1: Xây dựng công thức nhân đôi...

Đáp án:

+) sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a  

= 2 sin a cos a. 

+) $cos 2a =cos a+a = cos a cos a – sin a sin a $

= $\alpha-\alpha=2\alpha-1=1-2\alpha$

+) $\frac{tantana+tantana}{1-tantan a.tantan a}=\frac{2tantana}{1-a}$

Bài 2: Không dùng máy tính, tính...

Đáp án:

Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{2}=coscos\frac{\pi}{4}=coscos(2.\frac{\pi}{8})=2\frac{\pi}{8}-1$

Suy ra $2\frac{\pi}{8}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó $ \frac{\pi}{8}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Vì cos\frac{\pi}{8} >0 nên suy ra $cos\frac{\pi}{8} =\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng...

Đáp án:

a) Ta có: cos a+b +cos a –b =cos a cos b –sin a sin b + cos a cos b+sin a sin b  = 2 cos a cos b.

=> cos a cos b=$\frac{1}{2}$[cos(a+b)+cos(a – b)]. 

Hay: cos(a–b)–cos(a+b)=2 sin a sin b.

Từ đó suy ra: sin a sin b=$\frac{1}{2}$[cos(a –b) –cos(a+b)]. 

b) Ta có: sin a+b +sin a – b  

= sin a cos b+cos a sin b + sin a cos b –cos a sin b  =2sin a cos b.

Từ đó suy ra: sin a cos b=$\frac{1}{2}$[sin(a+b)+sin(a – b)]. 

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu...

Đáp án:

$A=cos 75^{\circ} cos 15^{\circ} $

=$\frac{1}{2}[cos (75^{\circ}-15^{\circ})+cos (75^{\circ}+15^{\circ}) $

=$\frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+0)=\frac{1}{4}$

$B=sin \frac{5\pi}{12}cos \frac{7\pi}{12} $ 

=$\frac{1}{2}[sin\frac{5\pi}{12}-\frac{7\pi}{12}  +sin \frac{5\pi}{12}+\frac{7\pi}{12} $ 

=$\frac{1}{2}-sin \frac{\pi}{6}  +sin\pi  $

=$\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+0)=-\frac{1}{4}$.

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài 1: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích...

Đáp án:

Đặt u=a – b; v=a+b.

Ta có: u+v=(a-b)+(a+b)=2a

Và u-v=(a-b)-(a+b)=-2b

Suy ra, $a=\frac{u+v}{2}$; $b=-\frac{u-v}{2}$

Khi đó:

$cos\frac{u+v}{2}cos(-\frac{-u-v}{2})=\frac{1}{2}(cosu+cosv)$

<=> $cosu+cosv=2cos\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$    (do $cos(-\frac{-u-v}{2}=cos\frac{u-v}{2}$).

$sin\frac{u+v}{2}sin(-\frac{-u-v}{2})=\frac{1}{2}(cosu-cosv)$

<=> $cosu-cosv=-2sin\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}$  (do $sin(-\frac{-u-v}{2}=-sin\frac{u-v}{2}$).

$sin\frac{u+v}{2}cos(-\frac{-u-v}{2})=\frac{1}{2}(sinu+sinv)$

<=> $sinu +sinv=2sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$  

Bài 2: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức...

Đáp án:

$B=cos\frac{\pi}{9}+cos\frac{5\pi}{9}+cos\frac{11\pi}{9}=2cos\frac{\frac{\pi}{9}+\frac{11\pi}{9}}{2}cos\frac{\frac{\pi}{9}-\frac{11\pi}{9}}{2}+cos\frac{5\pi}{9}=2cos\frac{2\pi}{3}cos(-\frac{5\pi}{9})+cos\frac{5\pi}{9}=2.(\frac{-1}{2})cos\frac{5\pi}{9}+cos\frac{5\pi}{9}=-cos\frac{5\pi}{9}+cos\frac{5\pi}{9}=0$

Bài 3: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng...

Đáp án:

a) Sóng âm được tạo ra khi nhấn phím 4 là:

y=sin (2$\pi$ . 770t) +sin(2$\pi$.1209t) =sin(1540$\pi$t)+sin(2418$\pi$t). 

b) sin (1540$\pi$t)+sin (2418$\pi$t)    

=$2sin\frac{1540\pi t+2418\pi t}{2}cos\frac{1540\pi t-2418\pi t}{2}$

=2sin(1979$\pi$t)cos (-439$\pi$t) 

=2sin (1979$\pi$t)cos (439$\pi$t) 

Vậy ta có hàm số: y=2sin(1979$\pi$t)cos (439$\pi$t). 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1.7: Sử dụng...

Đáp án:

+) sin 15$^{\circ}$ =sin (45$^{\circ}$-30$^{\circ}$) =sin 45$^{\circ}$ cos 30$^{\circ}$ -cos45$^{\circ}$sin 30$^{\circ}$

=$\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

+) cos 15$^{\circ}$=cos (45$^{\circ}$-30$^{\circ}$)=cos 45$^{\circ}$cos 30$^{\circ}$+sin 45$^{\circ}$sin 30$^{\circ}$

=$\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

+) tan 15$^{\circ}$=tan (45$^{\circ}$-30$^{\circ}$) = $\frac{tan45^{\circ}-tan30^{\circ}}{1-tan45^{\circ}.tan30^{\circ}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$

+) cot 15$^{\circ}$ =$\frac{1}{tan15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

Bài tập 1.8: Tính...

Đáp án:

a) Vì $\frac{\pi}{2}<a<\pi $ nên $cosa <0$

Do đó: $cos a =-\sqrt{1-a}=-\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Ta có : $cos(a+\frac{\pi}{6}).\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{6}-1}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}$

b) Vì $\pi<a<\frac{3\pi}{2}$ $sina<0$, do đó $tana=\frac{sin a}{cosb}>0$

=> $tana=\sqrt{\frac{1}{a}-1}=\sqrt{\frac{1}{(\frac{-1}{3})^{2}}-1}=2\sqrt{2}$

Ta có : $tantan(a-\frac{\pi}{4})=\frac{tana-tan\frac{\pi}{4}}{1+tanatan\frac{\pi}{4}}=\frac{2\sqrt{2}-1}{1+2\sqrt{2}.1}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$

Bài tập 1.9: Tính...

Đáp án:

a) Vì $\frac{\pi}{2}<a<\pi $ nên $coscosa <0$

$coscos a =-\sqrt{1-a}=-\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ta có: $sinsin2a=2sinacoscosa=\frac{2.1}{3}(-\frac{2\sqrt{2}}{3})=-\frac{4\sqrt{2}}{9}$

$coscos2a=1-2a=1-2.(\frac{1}{3})^{2}=\frac{7}{9}$

$tantan2a=\frac{sinsin2a}{coscos2a}=\frac{-\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{7}{9}}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$

b) Ta có : $(sinsina+coscosa)^{2}=(\frac{1}{2})^{2}$

<=> $a+a+2sinsinacoscosa=\frac{1}{4}$

<=> $1+sinsin2a=\frac{1}{4}$

<=> $sinsin2a=-\frac{3}{4}$

Vì $\frac{\pi}{2}<a<\frac{3\pi}{4}$ nên $\pi<2a<\frac{3\pi}{2}$, do đó $coscos2a<0$

=> $coscos2a =-\sqrt{1-2a}=-\sqrt{1-(\frac{-3}{4})^{2}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Do đó : $tantan2a=\frac{sinsin2a}{coscos2a}=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$

=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Bài tập 1.10: Tính giá trị của các biểu thức sau...

Đáp án:

a) $A=\frac{sin\frac{\pi}{15}cos\frac{\pi}{15}+sin\frac{\pi}{10}cos\frac{\pi}{15}}{cos\frac{2\pi}{15}cos\frac{\pi}{5}-sin\frac{2\pi}{15}sin\frac{\pi}{5}}=\frac{sin(\frac{\pi}{15}+\frac{\pi}{10})}{cos(\frac{2\pi}{15}+\frac{\pi}{5})}=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{cos\frac{\pi}{3}}=1$

b) $B=sin\frac{\pi}{32}cos\frac{\pi}{32}cos\frac{\pi}{16}cos\frac{\pi}{8}$

=$(\frac{1}{2}.2sin\frac{\pi}{32}.cos\frac{\pi}{32})cos\frac{\pi}{16}cos\frac{\pi}{8}$

=$\frac{1}{2}.sin\frac{\pi}{16}cos\frac{\pi}{16}.cos\frac{\pi}{8}$

=$\frac{1}{4}sinsin\frac{\pi}{8}coscos\frac{\pi}{8}$

=$\frac{1}{8}.2sin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}$

=$\frac{1}{8}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{16}$

Bài tập 1.11: Chứng minh đẳng thức sau...

Đáp án:

sinsin (a+b) sinsin (a-b)  

=$\frac{1}{2}$[coscos 2b -cos cos2a] =$\frac{1}{2}$[(2b -1)-(2a -1)] 

=b -a

Lại có: coscos 2b -coscos 2a =(1-2b) -(1-2a) =2(a -b)

Do đó: $\frac{1}{2}$coscos 2b -coscos 2a =.$\frac{1}{2}$2(a -b) =a -b

=> sinsin (a+b) sinsin b+a =a -b =b -a (đpcm).

Bài tập 1.12: Cho tam giác ABC có...

Đáp án:

a) Theo định lí sin: $\frac{a}{sinsinA}=\frac{b}{sinsinB}=\frac{c}{sinsinC}$

=> $b=\frac{B}{sinsinA}$

Diện tích tam giác ABC là: 

$S=\frac{1}{2}absinsinC=\frac{1}{2}a.\frac{B}{sinsinA}.sinsinC=\frac{a^{2}sinsinBsinsinC}{2sinsinA}$

b) $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

=> $\widehat{A}=180^{\circ}-(75^{\circ}+45^{\circ})=60^{\circ}$

Ta có: $S=\frac{a^{2}sinsinBsinsinC}{2sinsinA}$

=$\frac{12^{2}sinsin75^{\circ}sinsin45^{\circ}}{2sinsin60^{\circ}}$

=$144.\frac{\frac{1}{2}[coscos(75^{\circ}-45^{\circ})-coscos(75^{\circ}+45^{\circ})]}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$

=$\frac{72(coscos30^{\circ}-coscos120^{\circ})}{\sqrt{3}}$

=$\frac{72(\frac{\sqrt{3}}{2}-(-\frac{1}{2}))}{\sqrt{3}}$=$36+12\sqrt{3}$

Bài tập 1.13: Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho...

Đáp án:

Dao động tổng hợp $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$

=$2[coscos(\frac{\pi}{3}t+\frac{\pi}{6})+coscos(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{3})]$

=$2.2coscos\frac{(\frac{\pi}{3}t+\frac{\pi}{6})+(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{3})}{2}coscos\frac{(\frac{\pi}{3}t+\frac{\pi}{6})-(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{3})}{2}$

=$4coscos(\frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{12}).\frac{\sqrt{2}}{2}$

=$2\sqrt{2}coscos(\frac{\pi}{6}t-\frac{\pi}{12})$

Vậy biên độ $A=2\sqrt{2}$ và pha ban đầu là $\varphi =-\frac{\pi}{12}$